4.5.3 函数模型的应用 学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.3.能解决实际问题中的函数模型选择问题. 知识归纳 知识点一 常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数型函数模型 f(x)= (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)= (a,b为常数,a≠0) 知识点二 建立函数模型的基本过程 基础自测 1.两个变量的散点图如图,用如下函数进行拟合比较合理的是( ) [A]y=a·xb [B]y=a·ebx [C]y=a+bln x [D]y=a· 2.(人教A版必修第一册P150练习T2改编)某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为 180只,则15年后它们发展到( ) [A]300只 [B]400只 [C]600只 [D]720只 3.种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下种群数量呈指数增长模型,其数学模型公式为Nt=N0λt.其中N0是该种群的起始数量,t为时间(单位:年),λ是该种群数量每年增长的倍数,Nt表示t年后该种群数量.若某种群满足“J”型增长模型,λ为定值,1年后该种群数量是起始数量的倍,则5年后该种群数量是起始数量的( ) [A] 倍 [B] 倍 [C] 倍 [D] 倍 4.某工厂在某年12月份的产值是这年1月份产值的m倍,则该厂在该年度的产值的月平均增长率为( ) [A] [B] [C]-1 [D]-1 题型一 应用已知函数模型解决实际问题 [例1] 物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃(θ1>θ0),则x min后物体的温度θ(x)满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0)e-kx(k为常数).实验测算,当x=12时,满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0). (1)求k的值; (2)某种茶叶泡制的茶水,刚沏出来时茶水温度为75 ℃,等茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳.已知空气温度为25 ℃,则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 (结果保留一位小数,参考数值:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6) 利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数. (2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题. (3)涉及较为复杂的指数运算时,常常利用等式两边取对数的方法,将指数运算转化为对数运算. [变式训练] 火箭是能使物体达到宇宙速度,克服或摆脱地球引力束缚,进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式:v=uln .u表示气体相对于火箭的喷射速度(单位:km/s),M0表示火箭的初始质量(火箭壳与推进剂的总质量,单位:t),M表示推进剂用完后火箭的质量(单位:t),目前使用液氢液氧推进剂的发动机能达到的喷射速度约为4 km/s.理想情况下,对于初始质量为24 t的单级火箭,速度要达到11.2 km/s,则需装载的推进剂的吨数约为(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,e0.4≈1.5)( ) [A]22.1 [B]22.3 [C]22.5 [D]22.7 题型二 建立函数模型解决实际问题 [例2] 某医学研究所研发一种药物.据监测,如果成人在0.5 h内按规定的剂量注射该药,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,每升血液中的药物含量y(单位:mg)与开始注射后的时间t(单位:h)之间近似满足如图所示的曲线,y与t的函数关系为y=mat(a>0,且a≠1).根据图中提供的信息: (1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y(单位:mg)关于时间t(单位:h)的函数关系式; (2)据测定,每升血液中药物含量不少于0.08 mg 时该药有效,那么该药的药效时间有多长(结果保留小数点 ... ...
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