5.1.2 弧度制 学习目标 1.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式. 知识归纳 知识点一 角的单位制 1.角度制 角可以用度为单位进行度量,1度的角等于周角的.用 作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2.弧度制 长度等于 的圆弧所对的 叫做1弧度的角.以 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制,它的单位符号是rad,读作 . 3.角的弧度数的求法 在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|=. 一般地,正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 . 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关. 知识点二 角度与弧度的互化 1.角度与弧度的换算公式 角度化弧度 弧度化角度 360°= rad 2π rad= 180°= rad π rad= 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=()°≈57.30°=57°18′ 度数×=弧度数 弧度数×()°=度数 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 90° 120° 135° 150° 270° 360° 弧度 0 π (1)弧度单位 rad可以省略. (2)在同一个题目中,弧度与角度不能混用. 知识点三 角度制、弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 度量制 公式 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l= S= 弧度制 l= (0<α<2π) S= = αR2(0<α<2π) 基础自测 1.下列说法错误的是( ) [A]度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 [B]1度的角是周角的,1弧度的角是周角的 [C]根据弧度的定义,180°一定等于π弧度 [D]不论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短有关 2.-320°用弧度制表示为( ) [A]- [B]- [C]- [D] 3.若α=-3 rad,则它是( ) [A]第一象限角 [B]第二象限角 [C]第三象限角 [D]第四象限角 4.(人教A版必修第一册P175练习T6改编)已知扇形的圆心角为120°,半径为,则此扇形的面积为 ,周长为 . 题型一 弧度制的概念 [例1] (1)下列命题中,正确的是( ) [A]1弧度是1度的圆心角所对的弧 [B]1弧度是长度为半径长的弧 [C]1弧度是1度的弧与1度的角之和 [D]1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 (2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( ) [A] [B] [C]3 [D] (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. [变式训练] 下列说法中,正确的是( ) [A]1弧度角的大小与圆的半径无关 [B]大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 [C]圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 [D]用弧度来表示的角都是正角 题型二 角度制与弧度制的相互转化 [例2] (1)(苏教版必修第一册P173例3)把下列各角从弧度化为度: ①;②3.5. (2)(苏教版必修第一册P173例4)把下列各角从度化为弧度: ①252°;②11°15′. 角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×()°=度数.一般情况下,省略弧度单位rad. [变式训练] 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°;(2)-15°; (3) rad;(4)- rad. 题型三 利用弧度表示角 [例3] 已知α=-1 520°. (1)将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求与α终边相同的角θ,满足-4π≤θ<0. (1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍. (2)注意角度制与弧度制不能混用. [变式训练] (1)用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( ) [A]{β} [B]{β} [C]{β} [D]{β} (2)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是( ) [A](,) [B][2kπ+,2kπ+](k∈Z) [C][,] [D][2kπ+,2kπ+](k∈Z) 题型四 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 [例4] 已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l. (1)若α=120°,R=10 cm,求扇形 ... ...
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