第三章 函数概念与性质 章末复习提升 题型一 求函数的定义域 1.由几个式子构成的函数,其定义域是使各式子都有意义的集合的交集. 2.掌握基本集合的交、并、补运算,解简单的不等式,提升逻辑推理和数学抽象的核心素养. 3.求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)常见求定义域的形式:偶次根号下非负;分式,分母不为0;0次幂,底数不为0. (3)复合函数问题:①函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围;②已知f(x)的定义域是A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知f(φ(x))中φ(x)的取值范围(值域)为A,求出x的取值范围;③已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(φ(x))中x的取值范围为B,求出φ(x)的取值范围(值域). [典例1] 已知函数f(x)的定义域为(-4,28),则函数g(x)=的定义域为( ) [A](4,28) [B](-6,-3)∪(3,6) [C](3,6) [D](-3,3) [跟踪训练] 已知函数f(x-1)的定义域为(-∞,3],则函数f()的定义域为( ) [A][1,2] [B][1,2) [C](-∞,1]∪[2,+∞) [D](-∞,1]∪(2,+∞) 题型二 求函数的值域 函数的值域是其定义域中所有自变量对应的函数值的取值范围,常用方法:(1)转化为常见函数,具体方法为分离常数法、换元法、配方法.(2)利用函数图象.(3)利用函数的单调性.(4)转化为方程或不等式. [典例2] 函数f(x)=的值域为( ) [A](-∞,8] [B](-∞,6] [C][2,+∞) [D][4,+∞) [跟踪训练] 函数y=的值域是( ) [A][,3] [B][,1)∪(1,3] [C](-∞,]∪[3,+∞) [D](,3) 题型三 函数的图象 1.会根据函数的解析式及性质判断函数的图象,利用函数的图象可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等,重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象. 2.掌握简单的基本函数图象,提升直观想象和数据分析的核心素养. [典例3] 函数y=的图象大致为( ) [A] [B] [C] [D] [跟踪训练] (多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(2,4),则函数g(x)=+mx(m≠0)的大致图象可能为( ) [A] [B] [C] [D] 题型四 函数单调性与奇偶性的综合应用 1.解决有关函数性质的综合问题时一般要结合图象辅助解答. 2.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意依据解题需求对x灵活赋值,也可画出符合条件的大致图象,或找出符合条件的一个具体函数(限客观题)辅助解答. 3.函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性. (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间. (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式. (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围. [典例4] 已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内任意x和y,都有f(xy)= y2f(x)+x2f(y)+2x2y2.设g(x)=. (1)证明:函数g(x)为偶函数. (2)若f(x)满足:当x>1时,f(x)+2x2<0. (ⅰ)求不等式f(x2-1)-(x-1)2f(x+1)>0的解集; (ⅱ)若 m∈(-2,2),使得对 s∈[1,+∞),都有f(s)≤s2t2-(2mt+7)s2,求实数t的取值范围. [跟踪训练] 已知函数y=f(x)的定义域为R,且函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,当x>0时, f(x)=,函数g(x)=x2-kx-2. (1)求f(-); (2)若对任意x∈[-1,1],存在t∈[1,2],使得f(x)>g(t)成立,求实数k的取值范围. 题型五 函数的应用 1.以现实生活为背景,解决生活中的成本最少、利润最高等问题,一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用 问题. 2.通过构造数学模型解决实际问题,重点提升数学建模和数学运算的核心素养. [典例5] 某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中的成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当S中x%(0
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