4.3 组合 课件（2份打包） 2025-2026学年湘教版2019高中数学选择性必修第一册

(课件网) 4.3 课时2 组合数的应用 第4章 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题. 组合数的性质 组合数公式： 例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选. 解：(1)选5人主持某项活动共有种选法，没有选中队长有种选法， ∴至少有一名队长当选有-=825(种). (2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，∴共有++=966(种)选法. 有限制条件的组合问题 例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (3)既要有队长，又要有女生当选. (3)分两类：第一类，女队长当选，有=495(种)选法， 第二类，女队长没当选，剩余女生4人分别有1人，2人，3人，4人当选， 有+++=295(种)选法， ∴共有495+295=790(种)选法. 有限制条件的组合问题 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 归纳总结 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 例2 已知有6本不同的书. (1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ (2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ (3)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？ 解：(1)6本书平均分成3堆，∴不同的分堆方法的种数为==15. (2)不同的分堆方法的种数为=20×3=60. (3)在(2)的基础上再进行全排列，所以一共有=360(种)方法. 分组与分配问题 平均分组问题 不平均分组问题 分配问题 归纳总结 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 例3 把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数. (1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子． 相同元素分配问题 解：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板， 然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板， 共有(种)方法． 隔板法 (2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子． (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种插法； 然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，有种插法， 故共有(种)方法． (3)恰有两个空盒子． (2)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有种插法； 然后将剩下的两块隔板插入形成空盒，分两种情况． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，有种插法． ②将两块板与前面三块板之一并放，有种插法. 故共有(种)方法． 归纳总结 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法.可描 ... ...