1.5.3 等边三角形 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 1.5.3等边三角形 一、基础过关 1．如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 4．如图，为等边三角形，，垂足为点E，则下列结论中，正确的个数是（ ） ①；②； ③线段是的对称轴；④线段AE是的角平分线． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在等边三角形中，，于相交于点P，则的度数是（ ） A． B． C． D． 7．如图，，若 ，则是等边三角形． 8．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 ． 9．如图，在等边三角形中，P是内的一点，连接．若将绕点B逆时针旋转到的位置，点P的对应点为，则的度数是 °． 10．如图，在边长为的等边中，是的中点，为延长线上一点，若，则的长为 ． 11．如图，等边中，分别交于点D、E．求证：是等边三角形． 12．如图，是等边的边上一点，以为边作等边，连接，在延长线上取一点，使．求证：． 13．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 14．如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形． 15．如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 二、能力提升 16．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．如图，在等边中，D、E分别是上的点，连结交于点P，若，下列说法：①；②；③；④．其中结论正确的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 18．如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 19．尺规作图是数学历史文化中的瑰宝，围绕它曾产生过许多有趣的问题和故事．如作图“三大不能”问题，费马素数与尺规作图、高斯与尺规作正十七边形等，给后人留下宝贵的精神财富．拿起尺规，玩转乾坤，请同学们发挥自己的聪明才智，用尺规作出．（要求：用两种不同的方法作图，不写作法，保留作图痕迹） 20．如图，和都是等边三角形，，相交于点，连接． (1)求证：；(2)求的度数；(3)求证：平分． 21．如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 参考答案 1．A 【详解】解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． 2．B 【详解】解：过A作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．C 【详解】解：①∵等腰三角形有一个外角是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∴这个等腰三角形是等边三角形，正确； ②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误； ④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确． 故选C． 4．C 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， 故结论①②正确， ... ...