第一章 数列 章末复习与总结（课件 学案）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

一、逻辑推理 　　本章中，逻辑推理核心素养主要体现在等差（比）数列的判断与证明和*数学归纳法的应用问题中. 培优一 等差、等比数列的判断与证明 【例1】　已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 尝试解答　　　　　　 　　　　　　 【例2】　记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. （1）证明：数列{bn}是等差数列； （2）求{an}的通项公式. 尝试解答 培优二 *数学归纳法 【例3】　已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N＋. （1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； （2）证明通项公式的正确性. 尝试解答　　　　　　 　　　　　　 二、数学运算 　　在本章数学运算核心素养主要体现在等差（比）数列中基本量的运算，数列求和问题中. 培优三 等差、等比数列的基本运算 【例4】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A.120　　　　　　　　　 B.85 C.－85 D.－120 （2）（2023·全国甲卷5题）设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝（　　） A. B. C.15 D.40 （3）（2023·全国乙卷15题）已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝　　　　. 尝试解答 培优四 数列求和 【例5】　（2023·全国乙卷18题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 尝试解答　　　　　　 　　　　　　 【例6】　（2022·新高考Ⅰ卷）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列. （1）求{an}的通项公式； （2）证明：＋＋…＋＜2. 尝试解答 培优五 函数方程思想在数列运算中的应用 【例7】　设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m. 尝试解答　　　　　　 　　　　　　 【例8】　（2023·新高考Ⅰ卷20题）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. （1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； （2）若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 尝试解答　　　　　　 　　　　　　 章末复习与总结 【例1】　解：①③ ②. 已知{an}是等差数列，a2＝3a1. 设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1. 因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n， 所以－＝（n＋1）－n＝（常数），所以数列{}是等差数列. ①② ③. 已知{an}是等差数列，{}是等差数列. 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n2d＋n. 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1. ②③ ①. 已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{}的公差为d，d＞0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋（n－1）d＝nd，所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－（n－1）2d2＝2d2n－d2（n≥2），是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列. 【例2】　解：（1）证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以n≥2时，Sn＝， 代入＋＝2可得，＋＝2， 整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝（n≥2）. 又＋＝＝2，所以b1＝， 故{bn}是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，bn＝，则＋＝2，所以Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.故an＝ 【例3】　解：（1）当n＝1时，由已知得a1＝＋－1， 即＋2a1－ ... ...