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课件网) 4.3 课时2 对数的运算 1.理解对数的运算性质. 2. 能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数,体会换底公式的数学意义. 4.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明. 底数 幂 真数 以a为底N的对数 3.对数的性质 1.对数式与指数式的互化 2.logaN表示什么意义？ a的多少次方等于N (a>0，且a≠1) (1) (2) (3) (4) 指数 做一做：计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数的运算性质吗？ 猜想：如果，且，，，那么 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 如何证明它们呢？ (1) (2) (3) 根据对数和指数间的关系可得： 证明： 提示：logaN表示a的多少次方等于N 证明1： . 设, , , . 你能运用这个结论，证明 吗？ (4) () 证明2： 证明： n个相乘 提示： n个相乘 n个相加 你能运用已有的两个结论，证明 吗？ 证明3： 证明： 提示： 对数的运算性质： “乘法”变“加法” “乘方”变“乘法” “除法”变“减法” 知识归纳 例1 求下列各式的值. (1)log3e+log3; log3e+log3=log3=log33=1. (2)lg 50-lg 5; lg 50-lg 5=lg =lg 10=1. (3)lg +2lg 2. lg +2lg 2=lg 5-lg 2+2lg 2 =lg 5+lg 2=lg 10=1. 训练1 求下列各式的值: (1)log3(27×92); 方法一 log3(27×92)=log327+log392=log333+log334=3log33+4log33=3+4=7. 方法二 log3(27×92)=log3(33×34)=log337=7log33=7. (2)(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2; (lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=lg 5×(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5×lg 10+lg 2=lg 5+lg 2=1. (3)ln 3+ln ; ln 3+ln =ln=ln 1=0. (4)log35-log315. log35-log315=log3=log3=log33-1=-1. 练一练 例2 已知lg 2=a,lg 3=b,则lg = (结果用含a,b的代数式表示). b+3a-1 lg =lg 12-lg 5=lg(3×22)-(1-lg 2)=lg 3+lg 22-1+lg 2=lg 3+3lg 2-1=b+3a-1. 训练2 用lg x,lg y,lg z表示下列各式: (1)lg(xyz); lg(xyz)=lg x+lg y+lg z. (2)lg ; lg =lg(xy3)-lg =lg x+lg y3-lg =lg x+3lg y-lg z. (3)lg . lg=lg -lg(y2z)=lg -(lg y2+lg z)=lg x-2lg y-lg z. 练一练 数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或为底的对数，就能方便地求出这些对数. 探究： (1)利用计算工具求的近似值； (2)根据对数的定义，你能利用的值求的值吗？ (3)根据对数的定义，你能用表示 吗？ 设则于是 如 在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值.由换底公式，可得. 利用计算工具，可得，由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到了2001年的2倍.类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数. 根据性质③得，即 对数换底公式 补充： (1)对数运算性质①的推广： (2)由换底公式得到的常用结论： ① ② ③; ④. 例3. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1） 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和. 由，可得 ，. 于是， 利用计算工具可得， 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却 是后者的约32倍. 2.换底公式: “上在上,下在下”;“底相同” 1.对数的运算性质： “乘法”变“加法” “乘方”变“乘法” “除法”变“减法” 1.若a>0,且a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式中正确的为（ ） A.(logax)n ... ...
