学历案：5.1二次函数 学习目标 1. 经历探索和表示二次函数关系的过程，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般表达式。 2. 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数的表达式，并确定自变量的取值范围。 3. 会判断一个函数是否为二次函数，提高分析和判断的能力。 4. 通过对实际问题的研究，体会数学与生活的紧密联系，培养应用数学知识解决实际问题的意识和能力。 评价任务 1. 给出一些实际问题情境，让学生列出相应的函数表达式，然后判断是否为二次函数，以此评价学生对二次函数概念的理解。 2. 提供一组函数表达式，要求学生准确找出其中的二次函数，并指出二次项系数、一次项系数和常数项，考查学生对二次函数一般表达式的掌握。 3. 给出具体的实际问题，让学生确定二次函数表达式中自变量的取值范围，检验学生对自变量取值范围确定方法的掌握。 4. 让学生自己举例说明生活中的二次函数问题，并列出函数表达式，评价学生运用二次函数知识解决实际问题的能力。 学习过程 任务1：二次函数概念的引入 1. 展示生活中的实际问题： - 问题一：正方体的棱长为 ，表面积为 ，则 与 之间的关系是什么？ - 问题二：某工厂一种产品现在的年产量是 件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加 倍，那么两年后这种产品的产量 将随计划所定的 的值而确定， 与 之间的关系应怎样表示？2. 引导学生分别列出上述问题中 与 的函数表达式： - 对于问题一，根据正方体表面积公式可得 。 - 对于问题二，第一年产量为 ，第二年产量为 ，即 。 3. 让学生观察这两个函数表达式，与之前学过的一次函数、反比例函数进行比较，找出它们的不同之处。 4. 组织学生进行小组讨论，总结这两个函数表达式的共同特征。 5. 教师对学生的讨论结果进行点评和总结，引出二次函数的概念。 任务2：二次函数概念的理解 1. 给出二次函数的一般表达式：形如 （ ， 、 、 是常数）的函数叫做二次函数。强调 这个条件的重要性。 2. 结合前面列出的函数表达式 和 ，指出其中的 、 、 的值。 3. 给出一些函数表达式，如 ， ， ， 等，让学生判断哪些是二次函数，并说明理由。 4. 组织学生进行课堂练习，完成教材上相关的练习题，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。 5. 让学生思考并回答：二次函数与一次函数、反比例函数的区别和联系是什么？教师进行总结和补充。 任务3：确定二次函数表达式及自变量取值范围 1. 展示新的实际问题：用长为 的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的园子，园子的面积 （ ）与平行于墙的一边长 （ ）之间的关系是什么？ 2. 引导学生分析问题，找出等量关系：长方形的另一边长为 ，则面积 。 3. 让学生确定自变量 的取值范围：因为篱笆长度和实际情况， 。 4. 给出更多类似的实际问题，如用一段长为 的绳子围成一个矩形，求矩形面积与一边长的函数关系及自变量取值范围等，让学生独立完成，然后小组内交流。 5. 教师对学生的解答进行点评和总结，强调确定自变量取值范围时要考虑实际意义。 任务4：二次函数的应用与拓展 1. 提出问题：某商场销售某种商品，每件进价为 元，经市场调研，当售价为每件 元时，每天可销售 件；当售价每上涨 元时，每天的销售量就减少 件。设每件商品的售价为 元，每天的销售利润为 元，求 与 之间的函数表达式，并确定自变量 的取值范围。（配图：商场商品销售场景图） 2. 引导学生分析问题，找出利润的计算方法：利润 。自变量 的取值范围为 。 3. 让学生思考：当售价为多少时，利润最大？这为后续学习二次函数的性质做铺垫。 4. 组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出不同的实际问题，并尝试列出二次函数表达式。 5. 教师对学生的讨论和提出的问题进行总结和评价，进一步强调二次函数在实际生活 ... ...
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