1.1　第1课时　空间向量及其线性运算（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第一册

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 学习 目标 1. 了解空间向量的概念，掌握线性运算及其运算律． 2. 理解空间共线向量的概念及两个空间向量共线、共面的充要条件． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1. 特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 2. 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 3. 共线向量定理推论 (1) 如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，若在l上取＝a，则①可以化作：＝＋t. (2) 对于空间中任意一点O，P，A，B三点共线的充要条件是存在有序实数对(λ，μ)，使得＝λ＋μ，其中λ＋μ＝1． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 零向量没有方向. (　×　) (2) 两个有公共终点的向量，一定是共线向量. (　×　) (3) 空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向. (　×　) (4) 若a＝－b，则|a|＝|b|. (　√　) (5) 若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同. (　×　) 典例精讲能力初成 探究1　空间向量的有关概念 例1　已知a为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是(　C　) A. 与a共面的单位向量有无数个 B. 与a垂直的单位向量有无数个 C. 与a平行的单位向量只有一个 D. 与a同向的单位向量只有一个 【解析】 与a共面的单位向量，其方向可任意，有无数个，故A正确；与a垂直的单位向量，方向有无数个，故B正确；与a平行的单位向量，方向有两个，不唯一，故C错误；与a同向的单位向量，方向唯一，只有一个，故D正确． 变式1　(多选)下列命题正确的有(　CD　) A. 若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B. 若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b C. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝ D. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p 【解析】 对于A，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，故A错误．对于B，根据向量相等的定义，两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但B中向量a与b的方向不一定相同，故B错误．对于C，根据正方体的性质，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量的方向相同，模也相等，则＝，故C正确．对于D，由向量相等关系可知m＝n＝p，故D正确． 探究2　空间向量的线性运算 例2　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (例2) (1) ＋； (2) ＋＋； (3) －－. 【解答】 (1) ＋＝. (2) 因为M是BB1的中点，所以＝.又因为＝，所以＋＋＝＋＝. (3) －－＝－＝. 向量，，如图所示． (例2答) 空间向量线性运算的基本方法与平面向量线性运算类似，主要利用“三角形法则”进行转化表示． 探究3　空间向量的共线问题 例3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线． 　(例3) 【解答】 因为＝＋＝－＋＝－＋(＋＋)＝－＋－，＝＋＋＝－－＋，所以＝，又，有公共点E，从而E，F，B三点共线． 变式3　设e1，e2是两个不共线的空间向量，若＝2e1－e2，＝3e1＋3e2，＝e1＋ke2，且A，C，D三点共线，则实 ... ...