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1.2.4 二面角(课件 学案 练习)高中数学 人教B版(2019)选择性必修 第一册

日期:2025-10-21 科目:数学 类型:高中试卷 查看:36次 大小:14270295B 来源:二一课件通
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    (课件网) 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.4 二面角 探究点一 定义法求二面角的大小 探究点二 利用三垂线定理及其逆定理求 二面角 探究点三 利用空间向量求二面角的大小 探究点四 空间中的翻折与探索性问题 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中 的二面角的平面角; 2.掌握求二面角的基本方法. 知识点一 二面角及其范围 1.二面角的定义:平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的 每一部分都称为一个_____.从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形称为_____,这条直线称为二面角的____,这两个半平面称为 二面角的面. 二面角的范围为_____. 半平面 二面角 棱 2.二面角的平面角 如图所示,在二面角 的棱上任取一 点,以为垂足,分别在半平面 和 内作 平面角 平面角大小 直二面角 3.两个平面所成的角 两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的四个二 面角中,不小于 且不大于 的角的大小. 垂直于棱的射线和,则射线和 所成的角称为二面角的 _____.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等 于它的_____.特别地,平面角是直角的二面角称为_____ __. 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个相交平面所成角的大小和一个二面角的大小是唯一的.( ) √ (2)二面角是指两个平面相交的图形.( ) × (3)平面与平面所成的角的取值范围与二面角的取值范围相同.( ) × (4)如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个 半平面,则这两个二面角的大小相等.( ) × 知识点二 用空间向量求二面角的大小 如果,分别是平面,的一个法向量,设与 所成角的大小 为 ,如图所示,可以看出,或, ,特别地, , . 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二面角的范围是 .( ) × (2)若二面角 的两个半平面的法向量分别为, ,则 二面角的平面角与两个法向量的夹角, 一定相等.( ) × (3)二面角的大小通过它的平面角的大小来度量.( ) √ 探究点一 定义法求二面角的大小 例1 [2024·北京延庆区高二期末]在二面角 中, , , , ,且,,若 , ,,求二面角 的余弦值. 解:如图,过点在平面 内作 ,且 ,连接,,易知四边形 为矩形, 因为,,所以 即为二面角 的平面角. 因为,, 平面 ,所以 平面,又 平面,所以,又 ,所以. 在中,由 ,,可得 , 又,,所以 ,所以 . 变式 在多面体中,,平面 平面,平面 平面,, , ,,且 . (1)求与平面 所成的角; 解:如图,取的中点,连接 , , , 平面 平面,平面 平面, 平面 , ,与平面所成的角为 . 平面,即为与平面 所成的角. 且 , (2)求二面角 的大小. 变式 在多面体中,,平面 平面,平面 平面,, , ,,且 . 解:如图,取的中点,连接 ,则, , ,,连接, 平面 ,在平面上的射影为, , 即为二面角的平面角. 在等腰直角三角形 中,,, 在中,, , 在中, , , 二面角的大小为 . [素养小结] 定义法求二面角的步骤: (1)作(找)出二面角的平面角; (2)写出(或证明)所作平面角即为所求二面角的平面角; (3)利用解三角形的知识求解. 探究点二 利用三垂线定理及其逆定理求二面角 例2 如图,在四棱锥中,底面 是 正方形,侧面是正三角形,平面 平 面 . (1)证明: 平面 ; 证明: 平面 平面,平面 平面 , 平面,, 平面 . (2)求二面角 的正切值. 例2 如图,在四棱锥中,底面 是 正方形,侧面是正三角形,平面 平 面 . 解:如图,取的中点,连接, . 是正三角形,,, 平面, 平面,, 由三 ... ...

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