滚动习题(一) [范围1.1] 1.C [解析] 因为a=(0,1,0),b=(2,0,-2),所以a+b=(2,1,-2),所以(a+b)·a=0+1+0=1.故选C. 2.C [解析] 因为a⊥b,所以a·b=0,所以(-3)×1+2x+7×(-1)=2x-10=0,解得x=5.故选C. 3.A [解析] 因为A,B,C,D四点共面,所以向量,,共面,即存在实数λ,μ使得=λ+μ,又=(1,2,3),=(2,-1,-1),=(9,-2,x),所以(9,-2,x)=λ(1,2,3)+μ(2,-1,-1),所以解得故选A. 4.A [解析] 由题得=+=+=(-)+=-+=a-b+c.故选A. 5.C [解析] 若·(+)=(+)·(+)=·+·+·+=2×2×cos+ 2×2×cos+2×2×cos∠ACB+22=8+4cos∠ACB>10,则cos∠ACB>,因为∠ACB∈(0,π),所以0<∠ACB<,必要性成立.若0<∠ACB<,则cos∠ACB>,则8+4cos∠ACB>10,即·(+)>10,充分性成立.所以“0<∠ACB<”是“·(+)>10”的充要条件.故选C. 6.D [解析] 以A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图,设P(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1, A1(0,0,1),C(1,1,0),则·=(-x,-y,1)·(1-x,1-y,0)=x2-x+y2-y=+-,因为0≤x≤1,0≤y≤1,所以当x=,y=时,·取得最小值-,当x=0或1,y=0或 1时,·取得最大值0.故选D. [技巧点拨] 求解空间向量中的范围问题时,常用的方法是建立空间直角坐标系引入变量,即将范围问题转化为关于某一变量的函数问题,借助代数方法求解最值. 7.AC [解析] 对于A选项,因为a,b,c是非零向量,且满足a∥b,b∥c,所以存在实数λ,μ使得a=λb,b=μc,故a=λμc,所以a∥c,故A选项正确;对于B选项,因为a,c不一定共线且向量数量积为实数,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,故B选项错误;对于C选项,因为{,,}是空间向量的一组基底,所以A,B,C三点不共线,若=+-,则-=+,即=+,所以A,B,C,D 四点共面,故C选项正确;对于D选项,当a与b共线且反向时,有b=λa(λ<0),即解得此时
=180°,故D选项错误.故选AC. 8.AC [解析] ∵空间两个单位向量=(m,n,0),=(0,n,p)与向量=(1,1,1)的夹角都等于,∴∠AOC=∠BOC=,||=,∵·=||·||·cos∠AOC=,且·=m+n,∴m+n=,又为单位向量,∴m2+n2=1,由解得或∴cos∠AOB=n2=.故选AC. 9. [解析] 因为a=(2,1,0),b=(-1,0,2),所以a+kb=(2-k,1,2k),2a+3b=(1,2,6),当(a+kb)∥(2a+3b)时,==,解得k=.因为向量a+kb与2a+3b的夹角为锐角,所以(a+kb)·(2a+3b)=2-k+2+12k=11k+4>0,解得k>-,所以实数k的取值范围是. [易错点] 明确a·b>0 a与b夹角为锐角或a与b同向共线,此类试题容易因为忘记排除夹角为0时参数满足的条件而致误. 10. [解析] 由题得=(-1,1,0),=(1,2,-4).因为M在直线AB上,所以=λ=(-λ,λ,0),λ∈R,则=-=(-λ-1,λ-2,4),又CM⊥AB,所以⊥,所以(-λ-1)×(-1)+(λ-2)×1+4×0=2λ-1=0,解得λ=,则=,故M. 11. [解析] 以C1为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 设点P的纵坐标为m(0≤m≤1),则C1(0,0,0),D1(,0,0),P(0,m,-m),则·=(0,m,-m)·(-,m,-m)=m2+(-m)2=4m2-6m+3=4+,由于0≤m≤1,所以当m=时,4+取得最小值,当m=0时,4+取得最大值3,即·的取值范围为. 12.解:(1)由题知=(2,1,-2),则c=λ=(2λ,λ,-2λ), 则|c|==3|λ|=6,解得λ=2或λ=-2, 所以c=(4,2,-4)或c=(-4,-2,4). (2)由题意得a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以a·b=-1,|a|=,|b|=, 所以cos===-,所以sin=, 所以以线段AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=2×|a|·|b|sin=3. 13.解:连接BD和AC交于点O, 过点O作直线OH垂直于平面ABCD. 如图,以O为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则A(,0,0),C(-,0,0),B(0,1,0),P(,0,2),F,G. 设=λ=(2λ,0,2λ),则Q(2λ-,0,2λ),故=(2λ-2,0,2λ). 依题意可得向量与,共面,=,=, 所以存在实数m,n,使得=m+n=, 则解得m=n=λ=, 则Q,故=,所以||=. 又=(-,1,0),所以cos<,>==. 14.解:(1)由D(0,0,0),=(4,3,2),得B1(4,3,2), 所以A(4,0,0),B(4,3,0),A ... ... 