第2课时 弧度制 学习 目标 1. 了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2. 理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式． 新知初探基础落实 请同学阅读课本P172—P175，完成下列填空． 一、 概念表述 1. 弧度制 (1) 1弧度的角：我们规定： 叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． (2) 弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②记法：用符号rad表示，读作弧度． 如图，在单位圆O中，的长等于1，∠AOB就是1弧度的角． 2. 弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么 ． 3. 角度制与弧度制的换算： 角度化弧度 弧度化角度 180°＝ rad π rad＝ 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 4. 一般地，正角的弧度数是 ，负角的弧度数是 ，零角的弧度数是 ． 注意：(1) 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． (2) 任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． 二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．) (1) 半圆所对的圆心角是π rad.( ) (2) 周角的大小等于π.( ) (3) 1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径．( ) (4) 长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度．( ) 典例精讲能力初成 探究1 弧度制的概念 例1 下列说法中错误的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B. 1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C. 根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 变式 将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为( ) A. B. － C. D. － 探究2 角度与弧度的互化 例2 (课本P173例4)按照下列要求，把67°30′化成弧度． (1) 精确值； (2) 精确到0.001的近似值． 变式 (1) (多选)下列转化结果正确的是( ) A. 60°化成弧度是 B. －150°化成弧度是－ C. －π化成度是－600° D. 化成度是15° (2) 把－1 485°化为α＋2kπ(k∈Z，0≤α＜2π)的形式是( ) A. －10π B. －－8π C. －－10π D. －8π 探究3 用弧度制表示角的集合 例3 (1) 若角θ的终边与角的终边相同，求在[0，2π)内终边与角的终边相同的角． (2) 已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限． 探究4 扇形的弧长公式及面积公式 例4 (课本P174例6)利用弧度制证明下列关于扇形的公式： (1) l＝αR；(2) S＝αR2；(3) S＝lR. 其中R是圆的半径，α(0<α<2π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积． 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则： 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝αR 扇形的面积 S＝ S＝lR＝αR2 有关扇形的弧长l，圆心角α，面积S的题目，一般是知二求一，解此类题目的关键在于灵活运用l＝|α|r，S＝lr＝|α|r2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决． 变式1 如图，已知圆O的半径r＝10，弦AB的长为10. (变式1) (1) 求弦AB所对的圆心角α的大小； (2) 求圆心角α所对应的弧长l及阴影部分的面积S. 变式2 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1) 若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2) 若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 随堂内化及时评价 1. 时针经过一小时，转过了( ) A. rad B. － rad C. rad D. － rad 2. 下列与角的终边一定相同的角是( ) A. B. k·360°＋(k∈Z) C. 2kπ＋(k∈Z) D. (2k＋1)π＋(k∈Z) 3. 若角α＝4，则角α的终边所在象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. ... ...
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