5.2　第3课时　同角三角函数的基本关系（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第3课时　同角三角函数的基本关系 学习 目标 1. 理解并掌握通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式． 2. 能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 新知初探基础落实 请同学阅读课本P182—P184，完成下列填空． 1. 平方关系 (1) 公式：sin2α＋cos2α＝ ． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 ． 2. 商数关系 (1) 公式：＝ . (2) 语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于 ． 3. 关系式的常用等价变形 (1) sin2α＋cos2α＝1 (2) ＝tan α 典例精讲能力初成 探究1　同角三角函数的基本关系式及简单应用 视角1　已知cos α求tan α，sin α 例1-1　已知cos α＝－，求sin α和tan α的值． 视角2　已知sin α求cos α，tan α 例1-2　(课本P183例6)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值． 变式　已知sin α＝，且α是第二象限角，求cos α和tan α的值． 视角3　已知tan α求sin α，cos α 例1-3　已知tan α＝2，求sin α与cos α的值． 利用同角三角函数的平方关系sin2α＋cos2α＝1和商数关系＝tan α，可以实现在 sin α，cos α，tan α三个值之间“知一求二”，即知道其中一个可以求其余两个．注意：若题目中没有指出α是第几象限角，则必须由题设条件推断α可能是第几象限的角，再分情况讨论． 探究2　同角三角函数的基本关系式的变用 视角1　平方关系(sin θ±cos θ型求值) 例2-1　已知sin αcos α＝－，＜α＜，则sin α－cos α等于(　 　) A. 　 B. － C. －　 D. (1) sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”． (2) 求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号． 变式　若sin α＋cos α＝，则sin αcos α的值为(　 　) A. 　 B. － C. 　 D. － 视角2　商数关系(弦切转化思想) 例2-2　已知tan α＝－，那么sin2α＋2sinαcos α－3cos2α的值是(　 　) A．－3　 B. － C. 3　 D. － (1) 关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值． (2) 假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，将1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式． 变式　已知tan α＝3，则等于(　 　) A. 　 B. 5 C. 　 D. 2 探究3　三角函数式的化简或证明 例3　(课本P183例7)求证：＝. 利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法： (1) 化切为弦，减少函数名称．(2) 对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．(3) 对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 变式　(1) 化简：sin2αtanα＋＋2sin α·cos α. (2) 求证：＝. 随堂内化及时评价 1. 化简的结果是(　 　) A．cos 160°　 B. ±|cos 160°| C. ±cos 160°　 D. －cos 160° 2. 已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为(　 　) A. 　 B. ± C. 　 D. ± 3. 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为(　 　) A. 　 B. － C. 　 D. － 4. (2023·全国乙卷文)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝ ． 5. (2025·广州期末)(多选)已知α∈，sin α＋cos α＝m，则(　 　) A. 若m＝1，则cos α＝0 B. 若m＝，则cos α＝－ C. 若m＝，则sin α－cos α＝ D. m∈ 配套新练案 一、 单项选择题 1. 已知cos α＝，且<α<2π，则tan α的值为(　 　) A. －　 B. － C. －　 D. －2 2. 若α为第三象限角，且sin α＝－，则cos α＝(　 　) A. 　 B. － C. 　 D. － 3. 已知sin αcos α＝－，α∈，则cos α－sin α的值为(　 　) A. －　 B. C. －　 D. 4. 已知tan α＝－，则 ... ...