5.5　第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习 目标 1. 会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2. 能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用． 新知初探基础落实 请同学阅读课本P220—P223，完成下列填空． 1. 二倍角公式 三角函数 公式 正弦 sin 2α＝ 余弦 cos 2α＝ 正切 tan2α＝ 2.二倍角余弦公式的重要变形———升幂公式和降幂公式 (1) 升幂公式： 1＋cos 2α＝ ，1－cos2α＝ ， 1＋cosα＝ ，1－cosα＝ ． (2)降幂公式： cos2α＝ ，sin2α＝ ，sin αcos α＝ ． 典例精讲能力初成 探究1　二倍角公式及简单应用 例1　(课本P221例5)已知sin 2α＝，<α<，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值． 变式　(1) 若sin α＝－，且α∈，则sin (π－2α)的值为(　 　) A. －　 B. － C. 　 D. (2) 已知cos ＝，则cos (α－30°)的值为(　 　) A. 　 B. － C. 　 D. － (3) 已知角α的终边过点(1，－2)，则tan 2α的值为(　 　) A. －　 B. C. 　 D. 探究2　二倍角公式及综合应用 视角1　给角求值 例2-1　求下列各式的值： (1)sin cos ；(2) cos215°－cos275°； (3) 2cos2－1；(4) . 对于给角求值问题，一般有两类： (1) 直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2) 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 视角2　给值求值 例2-2　(课本P222例6)在△ABC中，cos A＝，tan B＝2，求tan (2A＋2B)的值． 解决给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1) 有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2) 寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． 变式　已知cos ＝，≤α<，求cos 的值． 视角3　给值求角 例2-3　已知α∈，且sin 2α＝sin ，求α的值． 探究3　三角函数式的化简与证明 例3　化简下列各式： (1) －； (2) . 随堂内化及时评价 1. sin4－cos4的值为(　 　) A．－　 B. － C. 　 D. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (－1，－)，则 sin 2α＝(　 　) A. －　 B. － C. 　 D. 3. (2025·新高考Ⅱ卷)已知α∈(0，π)，cos ＝，则sin ＝(　 　) A. 　 B. C. 　 D. 4. 已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是 ． 5. (课本P223练习1)已知cos ＝－，8π<α<12π，求sin ，cos ，tan 的值． 配套新练案 一、 单项选择题 1. 已知sin ＝，则cos ＝(　 　) A. －　 B. － C. 　 D. 2.已知角A，B，C分别是△ABC的三个内角，且cos ＝，则cos (B＋C)等于(　 　) A. －　 B. － C. 　 D. 3. (2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos α·sin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　 　) A. 　 B. C. －　 D. － 4.已知tan ＝，tan ＝，则tan (α－2β)＝(　 　) A. －　 B. － C. 　 D. 二、 多项选择题 5. 下列各式中，值为的是(　 　) A. cos215°－sin215°　　　　 B．2sin 15°cos 15° C. 1－2sin215°　　　　 D．2cos215°－1 6. 化简下列各式，与 tan α相等的是(　 　) A. B. ·，α∈(0，π) C. D. 三、 填空题 7. 计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝ ． 8. 已知cos θ＝－，θ∈，则sin ＝ . 四、 解答题 9. 如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈，β＝，且点A的坐标为A(－1，m). (第9题) (1) 若tan 2α＝－，求实数m的值； (2) 若tan ∠AOB＝－，求sin 2α的值． 10. (20 ... ...