5.3.1 单调性 1.理解导数与函数单调性的关系. 2.会利用导数判断或证明函数单调性. 3.会利用导数求函数单调区间. 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时, （1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； （2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数； 函数的单调性的定义 已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝(12)x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log12x． 问题1：试判断上面六个函数的单调性. 问题2：求上面六个函数的导数． 问题3：试判断所求导数的符号. ? 1：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的． 3：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负． 2： 已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝(12)x， (5)y5＝log2x，(6)y6＝log12x． 问题2：求上面六个函数的导数． 问题3：试判断所求导数的符号. ? 已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝(12)x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log12x． 问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. ? 当f ′(x)>0， f(x)单调递增; 当f '(x)<0， f(x)单调递减. 知识梳理 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： (1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f?(x)>0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； (2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f?(x)<0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. 上述结论可以用下图直观表示. 追问1:如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性? 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 追问2:存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性? f(x)仍为增函数. 例1 (多选)在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的是( ) 分析：当f′(x)>0时，y＝f(x)是增加的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是减少的.故可得，A，B中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的； 而C中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误；D中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误. CD 函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象. 归纳总结 例2 求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数. 证：由于f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，x∈R， 当x∈(0，＋∞)时，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数， 当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0. 故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数. 例3 利用导数判断下列函数的单调性. （1）f (x) = x3 + 3x； （2）f (x) = ?????1???? . ? 解：（1）因为 f (x) = x3 + 3x， x∈R，所以 f ′(x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) > 0； 所以函数 f (x) = x3 + 3x 在 R 上单调递增. （2）因为 f (x) = ?????1????，x∈(?∞，0)∪(0，+∞)，所以 f ′(x) = 1????2 > 0； 所以函数 f (x) = ?????–?1???? 在区间(?∞，0)和(0，+∞)上单调递增. ? 归纳总结 判定函数单调性的步骤： ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f ?(x)； ③ 判定导数f ?(x)的符号； ④ 确定函数f(x)的单调性. 例4 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sin x－x(00得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2； 由f′(x)<0解得－3
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