5.3.1 单调性 课件（20页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册

(课件网) 5.3.1 单调性 第5章 1.理解函数的单调性与导数的关系. 2.会判断函数在给定区间上的单调性. 3.会求具体函数的单调区间. 我们知道，对于函数y=f(x)来说， 导数f (x)刻画的是函数y=f(x)在点x的瞬时变化率， 函数的单调性描述的是函数值y随自变量x取值的增加而增加，或函数值y随自变量x取值的增加而减少. 两者都在刻画函数的变化，那么，导数与函数的单调性之间有何关系呢？ 观察下面几个图象，回答问题. (1)找出以上函数的单调区间； (2)求这四个函数的导函数； (3)导数的正负与其函数的单调性是否有关系？ y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ 增(-∞，+∞) 增(0，+∞) 减(0，+∞) 增(-∞，+∞) 减(-∞，0)，(0，+∞) y'=1 y'=2x y'=3x2 y'=- y'>0 x∈R y'＞0 x＞0 y'＜0 x＜0 y'≥0 x∈R y'<0 x≠0 函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系 f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递_____ f ′(x)＜0 单调递_____ 增 减 定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： 根据前面的问题，判断以下四句话的对错. (1)若某区间上f'(x)＞0，则在该区间上函数f(x)单调递增. (2)若某区间上函数f(x)单调递增，则在该区间上f'(x)＞0. (3)若某区间上f'(x)＜0，则在该区间上函数f(x)单调递减. (4)若某区间上函数f(x)单调递减，则在该区间上f'(x)＜0. √ × √ × 追问：判断以下两句话的对错. (1)若某区间上f'(x)≥0，则在该区间上函数f(x)单调递增. (2)若某区间上f'(x)≤0，则在该区间上函数f(x)单调递减. 结合函数y＝x2，y＝x3，y＝进行讨论. × × 能否结合函数图象，给这两句话加入限制，使其成立. 追问：判断以下两句话的对错. (1)若某区间上f'(x)≥0，则在该区间上函数f(x)单调递增. (2)若某区间上f'(x)≤0，则在该区间上函数f(x)单调递减. × × 能否结合函数图象，给这两句话加入限制，使其成立. 在某区间上f'(x)≥0，且只在有限个点处f'(x)＝0，则在该区间上函数f(x)单调递增. 若某区间上f'(x)≤0，且只在有限个点处f'(x)＝0，则在该区间上函数f(x)单调递减. (1)若某区间上f'(x)＞0，则在该区间上函数f(x)单调递增. (2)若某区间上f'(x)＜0，则在该区间上函数f(x)单调递减. (3)若某区间上函数f(x)单调递增，则在该区间上f'(x)≥0. (4)若某区间上函数f(x)单调递减，则在该区间上f'(x)≥0. 归纳总结 (1)(2)利用导数研究单调性 (3)(4)利用单调性研究导数 例1 若函数y=f'(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象可能是( ) C 解析：由y=f'(x)的图象可得，在(-∞，b)上f'(x)≥0， 在(b，+∞)上f'(x)<0， 根据原函数图象与导函数图象的关系可得， y=f(x)在(-∞，b)上是增函数，在(b，+∞)上是减函数，可排除A，D， 且在x=0处，f'(x)=0，即在x=0处，y=f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C. √ 变式：已知函数y=f(x)在定义域(-，3)内可导，其图象如图所示.若y=f(x)的导函数为y=f'(x)，则不等式f'(x)<0的解集为　　 　　　. (-，1)∪(2，3) 例2 利用导数判断下列函数的单调性： (1)f (x) = x3-x2+2x-5；(2)f(x)＝x－ex(x>0). 解:(1)因为f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 所以函数f (x) = x3-x2+2x-5在R上为增函数. (2)因为x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0， 所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上为减函数. 归纳总结 利用导数判断或证明一个函数的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在定义域或给定区间上恒成立. 一般步骤为： (1)确定函数的定义域(给定区间除外). (2)求导函数f′(x). (3)判断f′(x)的符号. (4)给出单调性结论. 例3 求函数的单调区间. 解：根据题意有= ， 令 ，可得 ，解得1 ， 因此，函数在区间上是增函数； 令 ，可得，解得<1 ， 因此，函数在区间上是减函 ... ...