2.5　第3课时　圆与圆的位置关系（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第3课时　圆与圆的位置关系 学习 目标 1．掌握利用圆心距和半径之间的大小关系判定圆与圆的位置关系的方法． 2．能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1．(代数法)设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)． 联立所得方程组的解的组数与两圆的位置关系如下： 方程组的解的组数 2 1 0 两圆的公共点的个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2．(几何法)若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d＞r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|＜ d＜r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d＜|r1－r2| 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(　×　) (2) 若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(　×　) (3) 若两圆有公共点，则两圆相交．(　×　) (4) 若两圆有公共点，半径分别为r1，r2，圆心距为d，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2．(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　圆与圆的位置关系的判定 例1　(教材P96例5补充)(1) 圆C1：x2＋y2＋4x＝0与圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为相交． 【解析】　由圆C1：(x＋2)2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝9，可得两圆的圆心分别为C1(－2，0)，C2(2，1)，半径分别为r1＝2，r2＝3，所以1＜|C1C2|＝＝＜5，从而两圆相交． (2) 若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则实数m的值为－9或11． 【解析】　圆x2＋y2＝1的圆心为M(0，0)，半径r＝1．由x2＋y2－6x－8y－m＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝m＋25，所以圆x2＋y2－6x－8y－m＝0的圆心为N(3，4)，半径R＝．若两圆外切，则|MN|＝R＋r，即5＝＋1，解得m＝－9；若两圆内切，则|MN|＝R－r或|MN|＝r－R，即5＝－1或5＝1－(舍去)，解得m＝11．故m＝－9或m＝11． 探究2　两圆相交问题 例2　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0． (1) 求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； 【解答】　圆C1：(x＋3)2＋y2＝13的圆心为C1(－3，0)，半径r1＝；圆C2：x2＋(y＋3)2＝37的圆心为C2(0，－3)，半径r2＝．因为r2－r1＜|C1C2|＝＝3＜r1＋r2，所以两圆相交．设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标是方程组的解，由①－②得x－y＋4＝0．因为A，B两点的坐标都满足方程x－y＋4＝0，所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．因为点C1到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝5，即两圆的公共弦长为5． (2) 求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 【解答】　方法一：解方程组得两圆的交点为A(－1，3)，B(－6，－2)．设所求圆的圆心坐标为(a，b)．因为该圆的圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，从而＝，解得a＝，故圆心坐标为，半径为＝，因此所求圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0． 方法二：因为圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，所以可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圆心坐标为，将其代入x－y－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0． (1) 求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程．但必须注意只有两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． (2) 求两圆公共弦长的方法：①联立两圆的方程求出交点坐标，再用距离公式求解；②先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成直角三角形，根据勾股定理求解． (3) 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y ... ...