3.2　第2课时　双曲线的简单几何性质（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第2课时　双曲线的简单几何性质(1) 学习 目标 1．掌握双曲线的简单几何性质． 2．会根据双曲线的标准方程研究双曲线的变量的取值范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1．双曲线的变量的取值范围、对称性 (1) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中要求x∈(－∞，－a]∪[a，＋∞)，y∈R． (2) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中要求x∈R，y∈(－∞，－a]∪[a，＋∞)． (3) 双曲线的对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点． 2．双曲线的顶点 (1) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的顶点坐标为(－a，0)，(a，0)． (2) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的顶点坐标为(0，－a)，(0，a)． 3．双曲线的渐近线 (1) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x． (2) 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程 为y＝±x． 4．双曲线的离心率 (1) 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，通常用e表示，即e＝＝∈(1，＋∞)． (2) 离心率e越大，双曲线开口越开阔，否则开口越狭窄． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 双曲线－＝1与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(　√　) (2) 双曲线－＝1与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　×　) (3) 椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围相同．(　×　) (4) 双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　×　) 典例精讲能力初成 探究1　由双曲线的方程研究双曲线的简单几何性质 例1　(教材P124例3补充)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 【解答】　由9y2－4x2＝－36，得－＝1，所以a2＝9，b2＝4，c2＝a2＋b2＝13，即c＝，从而顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x． 由双曲线的方程研究双曲线几何性质的步骤： (1) 把双曲线方程化为标准形式； (2) 由标准方程确定双曲线的焦点位置，确定a，b的值； (3) 由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 探究2　由双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程 例2　求下列双曲线的标准方程． (1) 与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)； 【解答】　方法一：椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)．由题意可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得故所求双曲线的标准方程为－＝1． 方法二：由椭圆方程＋＝1知椭圆的焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为－＝1(16＜λ＜25)．因为双曲线过点(－2，)，所以－＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)，故所求双曲线的标准方程为－＝1． (2) 与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)； 【解答】　方法一：双曲线－＝1的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得故所求双曲线的标准方程为－＝1． 方法二：由双曲线方程－＝1知两双曲线的焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为－＝1(－4＜λ＜16)．因为所求双曲线过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，故所求双曲线的标准方程为－＝1． (3) 过点(3，9)，离心率e＝． 【解答】　由e2＝，得＝，设a2＝9k(k＞0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k，从而所求双曲线的方程为－＝1①或－＝1②．把x＝3，y＝9代入①，得k＝－161，与k＞0矛盾，舍去；把x＝3，y＝9代入②，得k＝9．故所求双曲线的标准方程为－＝1． 由双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出双曲线方程的形式，再由题设条件确定参数的值．当双曲线的焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止遗漏． 探究3　双曲线的渐近线 例3　(1) 已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，那么双曲线的 ... ...