3.2　第3课时　双曲线的简单几何性质（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第3课时　双曲线的简单几何性质(2) 学习 目标 1．掌握双曲线的通径、焦半径、焦点三角形的定义及其计算方法． 2．了解双曲线的第二定义，并能利用第二定义进行简单的计算． 典例精讲能力初成 探究1　双曲线焦点三角形面积的计算 例1　设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，点P在双曲线C上，且·＝0，则△PF1F2的面积为3． 【解析】　方法一：由题意得a＝1，b＝，c＝＝2．由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝2a＝2．因为·＝0，所以PF1⊥PF2，从而|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，于是22＋2|PF1||PF2|＝42，解得|PF1||PF2|＝6，故△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝×6＝3． 方法二：因为·＝0，所以PF1⊥PF2，即∠F1PF2＝90°，由焦点三角形面积公式得S△PF1F2＝＝3． (1) 经过双曲线的焦点且垂直于实轴所在直线的弦叫做双曲线的通径，其长为． (2) 双曲线焦点三角形的面积公式：若P为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点，F1，F2分别为左、右焦点，记∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝． 变式1　已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2． (1) 若双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离； 【解答】　由题意知|PF1|＝10，||PF1|－|PF2||＝2×3＝6，即|10－|PF2||＝6，解得|PF2|＝4或|PF2|＝16． (2) 若P是双曲线上一点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△PF1F2的面积． 【解答】　方法一：由题意知||PF1|－|PF2||＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝2|PF1|·|PF2|＋36＝2×32＋36＝100．又c2＝a2＋b2＝9＋16＝25，所以|F1F2|＝2c＝10，从而|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，于是∠F1PF2＝90°，故S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16． 方法二：同方法一得∠F1PF2＝90°，则S△PF1F2＝＝＝16． 探究2　双曲线的第二定义 例2　已知M为双曲线－＝1上一动点，则点M到点(3，0)和到直线x＝1的距离之比为． 【解析】　由双曲线－＝1，得a2＝3，b2＝6，则c＝＝3，所以双曲线－＝1的右焦点为F(3，0)，右准线方程为x＝＝1．由双曲线的第二定义可知，点M到点(3，0)和到直线x＝1的距离之比为e＝＝． 点M(x，y)与定点F(c，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离之比为常数(0＜a＜c)的点的轨迹为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，其中定点F为右焦点，直线l为右准线． 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有两个焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，对应地，有左、右两条准线，其方程分别为l1：x＝，l2：x＝． 变式2　已知F(c，0)为双曲线x2－＝1的右焦点，过点F的直线m交双曲线的右支于A，B两点，交直线l：x＝于点M．若＝，||＝8，则双曲线的离心率e的值为(　C　) A．4 B．3 C．2 D． 【解析】　由题意得l为双曲线的右准线．如图，过点A，B作右准线l的垂线，垂足分别为A′，B′，设右准线l与x轴的交点为C．因为＝，所以F是BM的中点，|AM|＝|FM|－|FA|＝|BF|－|FA|．由双曲线的第二定义可得＝＝e，即＝．由△AA′M∽△BB′M可得＝＝，所以＝，从而3|FA|＝|BF|．因为||＝8，所以|FA|＝2，|MF|＝|BF|＝6，|AM|＝|MF|－|FA|＝4．由△AA′M∽△FCM可得＝．又因为a2＝1，即a＝1，|AA′|＝＝＝，|CF|＝c－＝c－，所以＝＝，解得c＝2，故e＝＝2． (变式2答) 探究3　双曲线焦半径公式的应用 例3　已知P为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上的一点，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的内切圆的直径为a，则双曲线C的离心率的取值范围为． 【解析】　如图，不妨设P(x0，y0)为双曲线右支上的一点，由焦半径公式可得|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a．由△PF1F2的面积公式可得·2c·|y0|＝··(|PF1|＋|PF2|＋2c)，即2c|y0|＝a(ex0＋c)，即2c|y0|＝cx0＋ac，则a＝2|y0|－x0有解．不妨设y0＞0，可得2y0－x0＞0，所 ... ...