3.2　第4课时　直线与双曲线（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第4课时　直线与双曲线 学习 目标 1．掌握直线与双曲线的位置关系的判断方法． 2．掌握直线与双曲线相交的弦长和相交弦的中点问题的解决方法． 新知初探基础落实 一、 概念表述 设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)①，双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)②．将①代入②，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0．当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C相交于一点．当b2－a2k2≠0，即k≠±时：Δ＞0 直线l与双曲线C有两个公共点，此时直线l与双曲线C相交；Δ＝0 直线l与双曲线C有一个公共点，此时直线l与双曲线C相切；Δ＜0 直线l与双曲线C没有公共点，此时直线l与双曲线C相离． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 过点A(1，0)作直线l，使l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线l有2条．(　×　) (2) 直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(　√　) (3) 当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切．(　√　) (4) 直线与双曲线有相交、相切、相离三种位置关系．(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　直线与双曲线位置关系的判断 例1　(1) 若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则实数k的取值范围是． 【解析】　由题意知直线y＝kx恒过原点，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x．因为直线y＝kx与双曲线－＝1相交，所以－＜k＜． (2) 若直线l：y＝kx－2与双曲线x2－y2＝1有且仅有一个交点，则k＝±1或±． 【解析】　联立得(1－k2)·x2＋4kx－5＝0．①当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l的方程为y＝±x－2，而等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有且仅有一个交点，满足题意；②当1－k2≠0时，由直线l与双曲线有且仅有一个公共点，可得Δ＝16k2＋20(1－k2)＝0，解得k＝±，此时满足题意．综上，k＝±1或±． 探究2　直线与双曲线的交点坐标 例2　(教材P124例4补充)已知A，B，C是三个观测站，A在B正东方向6 km处，C在B北偏西30°相距4 km处．某时刻A处检测到P地发出的某种信号，由于B，C两地比A地距P地远，因此4 s后，B，C才同时检测到这一信号，此信号的传播速度为1 km/s．若从A地向P地发射信号，求发射方向的角度(即方向角)． (例2答) 【解析】　如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2)．由题意知|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设点P的坐标为(x，y)．因为kBC＝－，BC的中点为D(－4，)，所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)①．又|PB|－|PA|＝4，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，从而双曲线的方程为－＝1(x≥2)②．联立①②两式，得x＝8，y＝5，所以点P的坐标为(8，5)，因此kPA＝＝，故发射方向的角度为北偏东30°． 判断直线与双曲线的位置关系时，通常将直线与双曲线的方程组成方程组，并消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则：Δ＞0 直线与双曲线相交；Δ＝0 直线与双曲线相切；Δ＜0 直线与双曲线相离．特别注意：和渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点． 探究3　直线与双曲线相交的弦长问题 例3　(教材P126例6补充)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx＋1． (1) 若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； 【解答】　由得(1－k2)x2－2kx－2＝0(*)．由双曲线C与直线l有两个不同的交点，知方程(*)有两个不同的实数根，所以解得－＜k＜且k≠±1，从而实数k的取值范围是(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)． (2) 若直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为，求|AB|． 【解答】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)得x1＋x2＝＝2，即k2＋k－＝0，解得k＝或k＝－．因为－＜k＜且k≠ ... ...