3.3　第3课时　抛物线的简单几何性质（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第3课时　抛物线的简单几何性质(2) 学习 目标 1．理解直线和抛物线的位置关系，会根据图形和方程组的解的组数判断直线和抛物线的位置关系． 2．掌握直线和抛物线相交弦的长和中点弦问题的解决方法． 新知初探基础落实 一、 概念表述： 1．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． ①若k≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点． ②若k＝0，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只有一个交点． 因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． 2．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为x＝m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．显然，当m＜0时，直线与抛物线相离，无交点；当m＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当m＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 直线x＝－6与抛物线y2＝6x一定相交．(　×　) (2) 直线x＝－6与抛物线x2＝－8y一定相交．(　√　) (3) 若一条直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定相切．(　√　) (4) 抛物线y2＝8x与直线x－y＝0有两个交点．(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　直线与抛物线的位置关系 例1　设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围． 【解答】　由抛物线的准线方程为x＝－2，得Q(－2，0)．显然直线l的斜率存在，设l：y＝k(x＋2)．由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0．当k＝0时，x＝0，即交点坐标为(0，0)；当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1．综上，直线l的斜率的取值范围是[－1，1]． 探究2　抛物线的中点弦问题 例2　已知抛物线C：y2＝4x，过点P(1，1)的直线交抛物线C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为y＝2x－1． 【解析】　如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知x1≠x2．因为点A，B在抛物线上，所以y＝4x1，y＝4x2，两式相减得y－y＝4(x1－x2)，整理得＝，即直线AB的斜率k＝．因为直线AB的中点为P(1，1)，所以＝1，从而k＝2，于是直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1． (例2答) 抛物线中点弦问题中直线方程的两种求法 (1) 点差法：设两个交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．若x1≠x2，将两个交点的坐标分别代入抛物线的方程，作差，由k＝求斜率，再由点斜式写出直线方程． (2) 传统法：设出直线方程，并将直线方程与抛物线方程联立，消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，求出斜率，进而可写出直线方程． 变式2　已知直线l与抛物线C：y＝2x2相交于A，B两点，若线段AB的中点的坐标为(1，4)，则直线l的方程为(　A　) A．4x－y＝0 B．2x－y＝0 C．8x－y－6＝0 D．x－2y＋3＝0 【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y1－y2＝2(x－x)＝2(x1＋x2)·(x1－x2)．因为线段AB的中点的坐标为(1，4)，所以x1＋x2＝2，x1－x2≠0，从而＝2(x1＋x2)＝4，即直线l的斜率为4，故直线l的方程为y－4＝4(x－1)，即4x－y＝0． 探究3　弦长问题 例3　若抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为，求抛物线的方程． 【解答】　设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．设直线2x－y＋1＝0与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立 消去y，得(2x＋1)2＝ax，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝．由Δ＞0，解得a＞8或a＜0．由|AB|＝·＝＝，即a2－8a－48＝0，解得a＝12或a＝－4，均符合题意．所以抛物线的方程为y2 ... ...