河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一上期10月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D C C D B C AB CD ABD 12． 13． 14． 15．(1)，理由见解析 (2)240 【分析】（1）方法一：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， 方法二：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， （2）由（1）可得，利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（1）方法一：根据相似的性质可得， 所以，解得， 所以. 方法二：根据相似的性质可得，则，得， 所以. （2）由（1）得，当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最小值为240. 16．(1) (2)； (3)答案见解析 【分析】（1）由三个二次的关系以及韦达定理求解即可； （2）以为主元，关于的一次不等式恒成立，代入两个端点成立即可； （3）因式分解之后，按照一次二次、开口方向、两根大小进行分类讨论即可.. 【详解】（1）不等式的解集为， 即的解集为， 可知方程的两个根为，且， 由根与系数的关系可得，解得, 则. （2）不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 令， 可得，解得， 即实数的取值范围为. （3）由，即， 得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得或，不等式的解集为或； 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得； 当时，解得，不等式的解集为． 17．(1)； (2)（i）3；（ii）. 【分析】（1）利用集合间的关系推导出或，因此可得方程的两根为，，再利用韦达定理计算即可； （2）（i）分类讨论集合为空集和非空集两种情况，根据集合间的包含关系列不等式计算即可；（ii）根据集合间的关系分类讨论集合能满足题意的两种情况，分别列不等式计算可得结论. 【详解】（1）由题意集合，且， 所以或，则不等式的解集为或， 所以方程的两根为，， 根据韦达定理，， 所以，. （2）（i）若，由（1）知或， 当，即时，，满足题意； 当，即时，由题意或，解得或， 又，因此. 综上，，正数的最小值是3； （ii）若，则，因此有， 中只含有两个正整数元素，则有两种情况： 中只含1，5这两个正整数元素， 则解得； 中只含5，6这两个正整数元素， 则，解得， 综上，的取值范围为. 18．(1)和3 (2)8 (3) 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解. 【详解】（1）由题意知，即，则， 解得，，所以不动点为和3. （2）依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. （3）由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解. 19．(1)是“完美集合”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）结合题意，计算所有元素之积与元素之和是否相等即可得； （2）由题意可得，构造方程，结合根与系数的关系的关系计算可得，结合立方和因式分解计算即可得； （3）由题意可得，借助放缩及三元基本不等式证明即可得. 【详解】（1）是“完美集合”，理由如下： 因为， 所以该集合是“完美集合”； （2）由题意可得，且， 则为关于的方程方程的两个不等正根， 即对关于的方程有：， 解得（负值舍去）， 由， 即， 又， 故； （3）由题意可得，且均大于0，中两两不等， ， 由均大于0，则， 当且仅当时，等号成立，又中两两不等，故不能取等， 即，故 ... ...
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