中小学教育资源及组卷应用平台 重难突破06 相似三角形的常见模型 重难突破 模型一：A字型 1．（2022秋·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，是的高，点，在边上，点、分别在、边上，，，四边形是正方形，求正方形的边长． 【答案】 【分析】由四边形是正方形，可得，即可证得，设正方形的边长为 ，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】四边形是正方形， ∴， 是的高， 是的高， ∵， ∴， ， 设正方形的边长为 ， 则，， ， 解得：， 正方形的边长为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 2．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，中，D、E分别是、上的点，且，． (1)求证：； (2)若，求的长度 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由，，得出，，即可证明； （2）由，得出，，进而得出，得出，，证明，再利用相似三角形的性质，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 3．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，在中，，，点E从点C出发，在边上以的速度移动；点D从点A出发，在边上以的速度移动．若点E、D分别同时从点C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多少时间以A，D，E为顶点的三角形与相似？ 【答案】经过或秒，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 【分析】由于相似三角形的对应边不能确定，故应分，两种情况进行讨论． 【详解】解：∵中，，， ∴cm， ∵点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向A运动， ∴， ∴当时，，即，解得（秒）； 当时，，即，解得（秒）； 综上所述，经过秒或秒时，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 4．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，在中，D、E、F分别是上的点，且，． (1)当，时，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，由此即可得到答案； （2）分别证明，得到，，进而得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟知平行线分线段成比例定理，相似三角形对应边成比例是解题的关键． 5．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点、、分别在、、上，，．若，，，求的长度． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例，可得，代入数据即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∴， 即 ∵，，， ∴， 解得： ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键． 6．（2022秋·陕西·九年级校考期末）如图，已知在中，分别交、于点、，为上一点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先根据平行线分线段成比例定理得到，进而推出，再根据，即可证明． （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 7．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过 ... ...
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