B·九年级上册 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 1．回顾矩形的性质及判定方法． 2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.(难点) 学习目标 问题1: 矩形有哪些性质？ A B C D O ①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且平分. ①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形 问题2: 矩形有判定方法有哪些？ 导入新课 如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. 思考：∠α满足什么条件时，平行四边形会变成矩形？ 当∠α=90°时，平行四边形变成矩形. 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 A B C D 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 矩形是特殊的平行四边形. 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. (2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？ 矩形 分析：要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.求证:平行四边形ABCD是矩形. D B C A 例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O, ∠AOD=120°, AB=2.5 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴∠DAB=90°，AC = BD， OA = OC = 12 AC，OB = OD = 12 BD ∴AO=DO. ∵∠AOD=120°, ∴∠ODA=∠OAD= 12 (180°- 120°)=30°. ∴AC=BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5. ? A B C D O 典例精析 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 ，求对角线的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD. ∴ OA = OB. 又∵∠AOB = 60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴ OA = AB = 4. ∴ AC = BD = 2OA = 8. A B C D O 变式练习 例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形. 证明：（1）∵△ABC是等腰三角形, ∴∠B=∠ACB. 又∵四边形ABDE是平行四边形, ∴∠B=∠EDC,AB=DE, ∴∠ACB=∠EDC, ∴△ADC≌△ECD. A D C E B (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°. ∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC, ∴四边形ADCE是平行四边形. 而∠ADC=90°, ∴四边形ADCE是矩形. A D C E B 例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 分析：根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD； 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；（2）AC = BD. （2）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC（矩形的对边相等）， 在△ABC 和 △DCB 中， ∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB. ∴△ABC ≌∠DCB. ∴AC = DB. 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.?? （1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？ （2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 3. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为 60°，对角线长 为 15，求这个矩形较短边的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD = 15，∴OD = OC = 7.5， 又∵∠COD = 60， ∴△COD是等边三角形， ∴ CD = 7.5 . 4. 如图 ... ...
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