(
课件网) 第一章 特殊的平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 1．理解正方形的概念，了解它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系． 2．探索并证明正方形的性质定理，进一步发展推理能力． 3．体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想． 学习目标 观察这些特殊的平行四边形，能发现它们有什么样的共同特征吗？ （插入多张《生活中的正方形》图片） 情境导入 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 一、正方形的定义 讲授新课 1.下面四个定义中不正确的是( ) A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 <概念辨析、理解定义> B 你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流． 正方形具有矩形与菱形的所有性质. 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 一组邻边相等 对角线互相垂直 正方形 你能证明这两种猜想吗？ 解： BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴BC = DC，∠BCE = 90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF = 180 ° ∠BCE = 180 ° 90 ° = 90 °. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. （2）延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE ≌ △DCF. ∴∠CBE = ∠CDF. ∵∠DCF = 90 °. ∴∠CDF +∠F = 90 °. ∴∠CBE +∠F = 90 °. ∴∠BMF = 90 °. ∴BE ⊥ DF. 通过矩形判定正方形： 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， 所以四边形ABCD是正方形。 判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， 所以四边形ABCD是正方形。 判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 A B C D O 你能证明这两个猜想吗？ 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 菱形 一个角是直角 对角线相等 正方形 答：（1）矩形，菱形，平行四边形。 （2）新四边形的形状与原四边形的两条对角线有关。当原四边形的两条对角线互相垂直时，新四边形是矩形；当原四边形的两条对角线相等时，新四边形是菱形；当原四边形的两条对角线互相垂直且相等时，新四边形是正方形。 探究新知 例 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE． 求证：四边形BECF是正方形． F D E C B A 典例精析 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，∠DCB=90°． 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC= ∠ABC=45°，∠ECB= ∠DCB=45° F D E C B A 典例精析 ∴∠EBC=∠ECB． ∴EB=EC． ∴□BECF是菱形（菱形的定义）． 在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°， ∴∠BEC=90°． ∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 典例精析 F D E C B A 2. B 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是( ) A．AC⊥BD B．AD＝AO C．DO＝CO D．∠DAO＝∠BAC 3. C 如图，边长为3的正方形OBCD的两边在坐标轴正半轴上，则点C的坐标是( ) A．(3，－3) B．(－3，3) C．(3，3) D．(－3，－3) 4．如图，四边形ABCD是正方形，E为BC延长线上一点，且AC=EC，则∠DAE=_____． 22.5° 课堂练习 5．如图，正方形ABCD的对角线长为 ，E为AB上一点．若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG=_____． 课堂练习 6．如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF．你能找 ... ...
