第一章 5 数学归纳法（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

§5　数学归纳法 【课前预习】 知识点 正整数n　(2)k+1 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√ 【课中探究】 探究点一 例1　证明:①当n=1时,a1=1=,等式成立. ②假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即ak=成立, 则当n=k+1时,ak+1===, 即当n=k+1时等式也成立.由①②知,an=(n∈N*). 变式　解:(1)由=an+1+3nan-3可得an+1=-3nan+3,又a1=4, 所以a2=-3a1+3=7,a3=-6a2+3=10, 则a2=7,a3=10,猜想an=3n+1. (2)证明:由(1)得an+1=-3nan+3. ①当n=1时,a1=4=3×1+1,等式成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即ak=3k+1成立, 则当n=k+1时,ak+1=-3kak+3=(3k+1)2-3k(3k+1)+3=3k+4=3(k+1)+1,即当n=k+1时等式也成立. 由①②知,an=3n+1对任意正整数n都成立. 探究点二 例2　证明:①当n=1时,左边=1+1=2,右边=2×1=2, ∴左边=右边,故当n=1时,结论成立; ②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)=2k×1×3×5×…×(2k-1), 则当n=k+1时,(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=×(2k+1)×(2k+2)=2k+1×1×3×5×…×(2k-1)×(2k+1),∴当n=k+1时,结论成立.综上,对任意的n∈N*,结论都成立. 变式　解:(1)f(1)=4,f(2)=22,f(3)=70. (2)假设存在a,b,c,满足题意, 由题意可得解得下面证明f(n)=(3n2+11n+10)对任意的n∈N*恒成立. 当n=1时,f(1)=4=×(3+11+10),等式成立. 假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即f(k)=(3k2+11k+10),则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+(k+1)(k+2)2=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=(3k2+5k+12k+24)=[3(k+1)2+11(k+1)+10], 即当n=k+1时,等式也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设中的等式对一切正整数n都成立. 探究点三 例3　解:(1)观察题中各不等式,可得1++++…+<. (2)证明:①当n=1时,由题设可知,不等式1<显然成立. ②假设当n=k(k≥1)时,不等式成立, 即1++++…+<,则当n=k+1时,有1++++…++<+.要证+<,即证<-,即证<-=, 即证4(k+1)2>(2k+1)(2k+3), 即证4k2+8k+4>4k2+8k+3,即证4>3,而4>3显然成立,因此1++++…++<成立,所以当n=k+1时,不等式也成立. 根据①②可得,不等式1++++…+<对任意的n∈N*都成立. 变式　证明:①当n=2时,左边=++=>1=右边,不等式成立. ②假设当n=k(k≥2)时,不等式成立, 即+++…+>1, 那么当n=k+1时,左边=+++…+=++++…++->1+++…+->1+(2k+1)·-=1+>1=右边, ∴当n=k+1时不等式也成立. 根据①②可得该不等式对所有大于1的正整数n都成立.§5　数学归纳法 1.D　[解析] 由题知n的最小值为2,当n=2时=,故第一步应验证“当n=2时,1++<2”.故选D. 2.B　[解析] 不等式左边需添加的项是-=++-.故选B. 3.B　[解析] 命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.由P(1)成立,可得 P(3),P(5),P(7),P(9),P(11),…均成立,即P(n)对于所有的正奇数n都成立.故选B. 4.B　[解析] 由题意得f(k)=1·k+2(k-1)+3(k-2)+4(k-3)+…+k·1,f(k+1)=1·(k+1)+2k+3(k-1)+4(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,所以f(k+1)-f(k)=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+4+…+k+(k+1).故选B. 5.A　[解析] 假设当n=k时命题成立,即5k-2k能被3整除,则当n=k+1时,5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.故选A. 6.D　[解析] 根据数学归纳法的步骤,首先要验证当n取第一个值时命题成立.现将2n看成函数y=2x(x∈N*)上的点,将n2看成函数y=x2(x∈N*)上的点,由n2=2n,可得n=2或n=4,结合两函数的图象可知,当n≥5时,2n>n2恒成立,所以正整数n的第一个取值应为5.故选D. 7.BD　[解析] 对于不等式