【精品解析】【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第21~22题

【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第21~22题 一、原题21 1．（2025·湖南）如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC． （1）求∠ACO的度数； （2）求证：AC＝BC． 【答案】（1）解：∵BC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CB， ∴∠OCB＝90°， ∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝120°﹣90°＝30° （2）证明：∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC 【知识点】等腰三角形的判定；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）由于切线垂直于过切点的半径，因此，则； （2）由于半径相等，则，再由三角形内角和可得，则等角对等边可得AC=BC. 二、变式1基础 2．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，角尺的直角顶点为B，用角尺的较短边AB紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C．已知AB=8cm，设⊙O的半径为rcm．若BC=12cm，求⊙O的半径． 【答案】解：如图，连结OC，OA，过点A作AD⊥OC，垂足为D． ∵BC与⊙O相切，∴OC⊥BC． 又∠B=90°，AD⊥OC， ∴四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=8cm，AD=BC=12cm， ∴OD=(r-8)cm．． 在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2， 即r2=(r-8)2+122， 解得r=13，即⊙O的半径为13cm 【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质 【解析】【分析】设圆的半径为rcm，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2=(r-8)2+122，求出r即可. 3．如图，P是的直径AB延长线上一点，PT切于点.若，求的半径. 【答案】解：如图， 连接OT， ∵OA切⊙O于T点， ∴OT⊥PT， 设OT=x，则OB=x ∴OP=x+2， 在Rt△OPA中 x2+42=（ x+2）2 ∴x=3 ∴⊙O的半径为3 【知识点】切线的性质 【解析】【分析】本题考查圆的切线的定理.先连接连接OT，利用圆的切线的性质定理可推出OT⊥PT，设OT=x，据此可推出OP=x+2，利用勾股定理可列出方程x2+42=（ x+2）2，，解方程可求出x的值，据此可求出的半径. 4．如图，AB与相切于点.若的直径为，求OA的长. 【答案】解：如图，连结OC， ∵的直径为， ∴OC=4， ∵ AB与相切于点 C ∴ OC⊥AB ∵ OA=OB ∴ AC=AB=5， ∴ OA=. 【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质 【解析】【分析】本题考查圆的切线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质是解题关键。连结OC，得OC=4，由AB是的切线得OC⊥AB，由等腰三角形得 AC=5，根据勾股定理得OA. 三、变式2巩固 5． 如图所示，在 中， ⊙O 为 的外接圆，BE 为⊙O的切线，AC为⊙O 的直径，连结 DC 并延长，交 BE 于点E. （1）求证： （2）若 求⊙O 的半径. 【答案】（1）证明：连结BO并延长，交AD于点H，连结OD， ∵AB=BD，OA=OD，∴BO垂直平分AD，∴BH⊥AD，AH=DH，∵BE为⊙O的切线，∴HB⊥BE，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴四边形BHDE为矩形，∴DE⊥BE （2）解：由(1)知四边形BHDE为矩形，BH⊥AD，AH=DH，∴AH=设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OH=BH-OB=5-r，在Rt△AOH中，由勾股定理，得解得即⊙O的半径为 【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；圆周角定理的推论 【解析】【分析】（1）首先连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，根据等腰三角形的三线合一，结合圆的切线的性质，由于直径所对圆周角为直角，由矩形的判定与性质即可证明； （2）首先由矩形性质与勾股定理求出AH和BH的长，然后利用角度关系与同弧所对圆周角相等，最后设半径，利用方程思想求半径. 6．如图，AB 为⊙O 的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，连结AC，BC，∠D=30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点 B作BF⊥CE，垂足为 F. （1）求证：CA=CD； （2）若AB=12，求线段 BF 的长. 【答案】（ ... ...