第四章 第8节　解三角形应用举例 专题练习（含解析）2026届高三数学一轮复习

第8节　解三角形应用举例 基础练 1.海面上有相距10 n mile的A,B两个小岛,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离为(　　) A.10 n mile B. n mile C.5 n mile D.5 n mile 【答案】 D 【解析】 如图,由题意得,A=60°,B=75°,AB=10,则C=45°,所以=,所以BC==5,即B,C间的距离为5 n mile.故选D. 2.如图所示,长为4 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处2 m的地面上,另一端B在离堤足C处3 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α等于(　　) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意可得,在△ABC中,AB=4 m,AC=2 m,BC=3 m, 且α+∠ACB=π. 由余弦定理可得, cos∠ACB==-, 则cos α=,所以sin α=, 所以tan α==.故选C. 3.(2025·江苏南京模拟)某中学校园内的红豆树已有百年历史,小明为了测量红豆树的高度,选取与红豆树根部C在同一水平面的A,B两点,在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上,沿正西方向步行40 m到B处,测得树根部C在北偏西15°的方向上,树梢D的仰角为30°,则红豆树的高度为(　　) A.10 m B.20 m C. m D. m 【答案】 D 【解析】 依题意可得如下图形, 在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,∠BCA=180°-30°-105°=45°,AB=40, 所以由正弦定理得=,解得BC=20, 在Rt△BCD中,∠CBD=30°,所以CD=BC·tan 30°=20×=,则红豆树的高度为 m.故选D. 4.如图,两座山峰的高度AM=CN=300 m,为测量峰顶M和峰顶N之间的距离,测量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得M点的仰角为,N点的仰角为,且∠MBN=,则两座山峰峰顶之间的距离MN=(　　) A.300 m B.600 m C.300 m D.600 m 【答案】 C 【解析】 BM===300(m),BN===600(m), 在△BMN中,利用余弦定理得 MN==300(m).故选C. 5.在平静的湖面上,小船甲从A处沿北偏西15°的方向匀速行驶,同时,在A的正东方向,且相距20 km 的B处,小船乙沿北偏西60°的方向行驶,经过2 h后,这两艘小船在C处相遇,则小船甲的速度是(　　) A.5 km/h B.5 km/h C.10 km/h D.20 km/h 【答案】 C 【解析】 如图,AB=20 km,∠ABC=30°,∠BAC=105°,则∠ACB=45°, 在△ABC中,由正弦定理可得=,则AC==20 (km),故小船甲的速度是=10(km/h).故选C. 6.(多选题)如图所示,为了测量A,B两岛的距离,某人在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30 n mile至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是(　　) A.∠CAD=45° B.A,D之间的距离为15 n mile C.B,D之间的距离为30 n mile D.A,B两岛间的距离为15 n mile 【答案】 ABD 【解析】 由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°,故A正确; 在△ACD中,由正弦定理得=,得AD==15 (n mile),故B正确; 在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=CD=30(n mile)≠30 (n mile),故C错误; 在△ABD中,∠ADB=15°+45°=60°, 由余弦定理得, AB=== 15 (n mile),故D正确.故选ABD. 7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C处,且小区里有一条平行于BO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了10 min,从D沿DA走到A用了6 min.若此人步行的速度为每分钟50 m,则该扇形的半径OA的长为　　　　m.(精确到1 m) 【答案】 445 【解析】 设该扇形的半径为r m,如图,连接CO. 由题意,得CD=500 m,DA=300 m, ∠CDO=60°. 在△CDO中,CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°=OC2, 即5002+(r-300)2-2×500×(r-300)×=r2,解得r=≈445(m). 8.(2025·山东聊城模拟)如图,为测量某塔的高度,在地面上选择一个观测点C,在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°,45°.无人机距地面的高度AB为45 m,且在A处 ... ...