第四章 第4节　简单的三角恒等变换 专题练习（含解析）2026届高三数学一轮复习

第4节　简单的三角恒等变换 基础练 1.化简:=(　　) A.cos α B.2cos α　　　 C.sin α　　　 D.2sin α　　　 【答案】 B 【解析】 原式===2cos α.故选B. 2.(2025·山西大同模拟)已知α∈(0,),且满足=,则tan α=(　　) A. B.± C.± D. 【答案】 D 【解析】 因为=,所以=,由α∈(0,),得cos α≠0,sin α>0, 整理得sin α=,又α∈(0,),所以α=,tan α=.故选D. 3.(多选题)下列各式中值为1的是(　　) A.sin 75°cos 75°　 B.cos215°-sin215° C.+2sin215°　 D. 【答案】 CD 【解析】 对于A,sin 75°cos 75°=sin 150°=,A错误;对于B,cos215°-sin215°=cos 30°=,B错误;对于C,+2sin215°=+1-cos 30°=+1-=1,C正确;对于D,由二倍角的正切公式可得=tan 45°=1,D正确.故选CD. 4.已知=2,则tan θ等于(　　) A.　 B.-　 C.-　 D. 【答案】 C 【解析】 由===tan =2,得tan θ===-.故选C. 5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin 等于(　　) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 因为cos α=1-2sin2=,而α为锐角,所以sin ===. 故选D. 6.已知tan(α+)=2,则的值为(　　) A.- B. C. D.- 【答案】 A 【解析】 tan α=tan[(α+)-]==,原式==tan α-=-=-.故选A. 7.已知<α<2π,化简=　　　 　. 【答案】 -cos 【解析】 因为<α<2π,所以<<π, 所以cos α>0,cos <0, 则原式===|cos |=-cos . 8.(2025·江西南昌模拟)已知2sin α=3+2cos α,则sin(2α-)=　　　　. 【答案】 - 【解析】 由2sin α=3+2cos α,得sin α-cos α=,即sin(α-)=, 所以sin(2α-)=sin[2(α-)+]=cos[2(α-)]=1-2sin2(α-)=1-2×()2=-. 9.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展作出了巨大贡献,他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则=　　　　. 【答案】 2 【解析】 把m=2sin 18°代入 = ===2. 10.已知tan(-α)=,α∈(0,). (1)求的值; (2)若β∈(0,),且sin β=,求α+β的值. 【解】 (1)因为tan(-α)=,α∈(0,),所以=,解得tan α=, 所以===2cos2α===. (2)因为β∈(0,),且sin β=,所以cos β==,所以tan β=, 所以tan(α+β)===1,又因为α∈(0,),β∈(0,),所以α+β∈(0,), 所以 α+β=. 强化练 11.(多选题)已知f(α)=-,则下列说法正确的是(　　) A.f(α)=-sin 2α　　　　　　 B.f(α)=sin 2α C.若tan α=3,则f(α)=　　 D.若sin α-cos α=,则f(α)= 【答案】 BCD 【解析】 由题意得f(α)=-=2sin αcos α=sin 2α,A错误,B正确; 当tan α=3时,f(α)====,C正确; 若 sin α-cos α=,则f(α)=2sin αcos α=1-(sin α-cos α)2=1-=,D正确. 故选BCD. 12.化简:=　 . 【答案】 1 【解析】 原式= = = == =1. 13.求值:-sin 10°(-tan 5°)=　　　　. 【答案】 【解析】 原式=-sin 10°·(-) =-sin 10°· =-sin 10°· =-2cos 10°= = = ==. 14.已知函数f(x)=2cos2(-x)+2sin(π-x)cos x-. (1)求f(-)的值; (2)若f(x0-)=,x0∈[,π],求f(x0+)的值. 【解】 (1)因为f(x)=2cos2(-x)+2sin(π-x)cos x- =2sin2x+2sin xcos x- =2sin xcos x-(1-2sin2x) =sin 2x-cos 2x=2sin(2x-), 所以f(-)=2sin[2×(-)-] =2sin·(-)=-2. (2)因为f(x)=2sin(2x-),f(x0-)=,所以sin(2x0-)=, 又x0∈[,π],则2x0-∈[,], 则cos(2x0-)<0, 所以cos(2x0-)=-=-, 所以f(x0+)=2sin 2x0=2sin[(2x0-)+] =2[sin(2x0-)cos +cos(2x0-)sin ] =2××(-)+2×(-)×=-. 15.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α和角β(0<α<<β<)的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,点A的横坐标为,点C与点B关于x轴对称. (1)求的值; (2)若cos∠AOC=-,求cos β的值. 【解】 (1)因 ... ...