第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 基础练 1.tan 105°等于( ) A.2- B.-2- C.-2 D.- 【答案】 B 【解析】 tan 105°=tan(60°+45°)=====-2-.故选B. 2.(多选题)下列各式化简正确的是( ) A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60° B.cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=cos 75° C.cos α+sin α=sin(α+) D.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=sin 45° 【答案】 ACD 【解析】 对于A,cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos 60°,故A正确; 对于B,cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°,故B错误; 对于C,sin(α+)=sin αcos +cos αsin =sin α+cos α,故C正确; 对于D,sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos[(α+45°)-α]=cos 45°=sin 45°,故D正确. 故选ACD. 3.已知tan(α-)=,tan(α+β)=,则tan(β+)= ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由β+=(α+β)-(α-),得tan(β+)=tan[(α+β)-(α-)] ===.故选A. 4.若cos α+sin α=,则tan2(α-)等于( ) A.0 B. C.3 D.7 【答案】 D 【解析】 因为cos α+sin α=, 所以(cos α+sin α)=, 即cos(α-)=, 所以sin2(α-)=1-cos2(α-)=, 所以tan2(α-)===7. 故选D. 5.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sin β,则( ) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 【答案】 C 【解析】 由题意得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)·sin β,整理,得sin αcos β-sin βcos α+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0, 所以tan(α-β)=-1.故选C. 6.(2025·广东广州模拟)已知sin α+cos α=,<α<,则cos α=( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 因为 sin α+cos α=,所以2sin(α+)=,则sin(α+)=, 又<α<,所以<α+<π,故cos(α+)=-, 故cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)·cos +sin(α+)sin =-×+×=.故选B. 7.已知α,β∈(,),若sin(α+)=,cos(β-)=,则sin(α-β)= . 【答案】 【解析】 由题意可得α+∈(,π),β-∈(-,0),所以cos(α+)=-,sin(β-)=-, 所以sin(α-β)=-sin[(α+)-(β-)]=-×+(-)×(-)=. 8.tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°的值为 . 【答案】 【解析】 原式=tan(10°+50°)(1-tan 10°tan 50°)+tan 10°tan 50° =(1-tan 10°tan 50°)+tan 10°tan 50° =-tan 10°tan 50°+tan 10°tan 50°=. 9.化简:= . 【答案】 【解析】 原式= = ==. 10.已知α∈(0,),β∈(,π),tan α=,cos(α-β)=.求: (1)sin(α-)的值; (2)sin β的值. 【解】 (1)因为α∈(0,),所以sin α>0,cos α>0,由可得 所以sin(α-)=sin αcos -cos αsin =×-×=-. (2)因为α∈(0,),β∈(,π),则-π<α-β<0,所以sin(α-β)<0, 所以sin(α-β)=-=-=-, 因此sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos α·sin(α-β)=×-×(-)=. 强化练 11.若对任意实数x都有3sin x-4cos x=5sin(x+φ),则角φ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】 D 【解析】 3sin x-4cos x=5(sin x-cos x),5sin(x+φ)=5(sin xcos φ+cos xsin φ), 因为sin φ=-<0,cos φ=>0,所以角φ的终边在第四象限.故选D. 12.在△ABC中,若tan A,tan B是关于x的方程x2-px+1-p=0的两个实根,则角C= . 【答案】 【解析】 对于方程x2-px+1-p=0,Δ=p2-4(1-p)=p2+4p-4≥0,解得p≤-2-2或p≥-2+2.因为tan A,tan B是关于x的方程x2-px+1-p=0的两个实根,所以tan A+tan B=p,tan Atan B=1-p,所以tan(A+B)===1,因为0
