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课件网) 3.3 课时2 杨辉三角形与二项式定理的应用 1.了解杨辉三角的由来，探究并理解杨辉三角的性质. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用. 新知导入 杨辉三角 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国北宋数学家贾宪在1050年前后就给出了类似的数表，并利用其进行高次开方运算。 南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。 欧洲，帕斯卡（1623-1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 杨辉三角是怎么得到的？有什么规律呢？ 对于(a+b)n展开式，因为 ，所有可以把n=0对应的二项式系数看成是1. 把n=0，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排列数表的形式, 如右图所示: 杨辉三角 观察上图可以发现，杨辉三角至少具有以下性质： （1）每一行都是 的，且两端的数都是 ； （2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于 之和. 对称 1 上一行中与这个数相邻的两数 另外，观察杨辉三角，可以发现对于给定的n来说，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.这一结论是否具有普遍性呢？ 假设 ，则 利用二项式系数的对称性可知，二项式系数 是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 化简可得 从而有 . 对称 1 之和 大 小 中间一项 中间两项 知识归纳 对称性 二项式系数和 中间大两边小 练一练：如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于（ ） A.20 B.21 C.22 D.23 C 例5：求证：9998-1能被100整除. 因为 ，由二项式定理可知 注意到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1，因此可知9998-1能被100整除. 由二项式定理可知 例6：当n是正整数且x>0时，求证： 因为x>0，所以上式右边的项都是正数， 从而可知 该结论可以用在近似计算中. 直接计算这个数并不容易，但利用例6的结果可知 假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，那么6年后该地区的人口应为100(1+1.2%)6 注意到（1.2%)n在 时都是很小的数， 因此，如果我们认为 的话， 近似程度应该是比较好的. 实际上 保留6位有效数字的近似值是107.419. 在此展开式中，除了最后两项外，其余项都能被100整除， 81 练一练：9192除以100的余数是_____． 1.在(a＋b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则 n＝( ) A.6 B.7 C.8 D.9 2.(x－1)11的展开式中，x的奇次幂项的系数之和是( ) A.2 048 B.－1 023 C.－1 024 D.1 024 A D 3.已知 展开式中第5项和第6项的 二项式系数最大，则其展开式中常数项是_____. 所以常数项为第四项 ． 4.若 ， 则 _____.（用数字作答） x奇次方系数为负， x偶次方系数为正 127 令x=-1 ，得 ， 令x=0，得 本节课你学到了哪些知识？ ... ...
