湖北省新八校2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷 一、单选题 1．已知复数（为虚数单位），若为纯虚数，则实数的值为（ ） A．1 B． C．0 D．2 2．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 3．已知空间向量．若，则实数的值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．一个不透明的袋子里装有4个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是（ ） A． B． C． D． 5．在平行六面体中，设．若点为棱的中点，则向量可表示为（ ） A． B． C． D． 6．已知直线与直线关于原点对称，将直线绕原点逆时针旋转后得到直线，则直线的斜率为（ ） A．-3 B． C．3 D．4 7．已知一个圆台的母线长为，高为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 8．已知等边的边长为2，点是平面内任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D．0 二、多选题 9．已知直线，则下列正确的是（ ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若，则 C．若或2，则与相互平行 D．若，则直线不经过第三象限 10．在中，角的对边分别是，则下列正确的是（ ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若不是直角三角形，则满足 D．若，且，则为等边三角形 11．在棱长为的正方体中，，点是正方体表面上的动点，为的中点，则下列正确的是（ ） A．直线与平面所成最小角的余弦值为 B．若点分别为的中点，平面与交于点，则 C．若，则从点出发沿正方体的表面到达点的最短距离为 D．若，则点的轨迹长度为 三、填空题 12．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线的方程为 ． 13．湖北恩施被誉为“世界硒都”，又被称为祖国的后花园．恩施有大峡谷、腾龙洞、神农溪这3个级景区，已知腾龙洞景区有金牌讲解员2人，大峡谷景区有金牌讲解员3人，若从这5人中随机抽取2人，则抽取的这两人来自不同景区的概率为 ． 14．数学家笛卡尔通过研究一簇花瓣和叶形曲线特征，得到了一簇花瓣曲线的一般方程为：，该方程表示的曲线就是优美的“笛卡尔叶形线”，若某种花瓣曲线特征满足（如图），该花瓣曲线上任意一点，则的范围为 ． 四、解答题 15．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求： (1)“星队”在两轮活动中共猜对2个成语的概率； (2)“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率． 16．在中，已知点，过顶点作的垂线，该垂线方程为． (1)求直线的方程； (2)若点的坐标为，且边的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 17．2025年9月13日，以“峡谷英雄·骑遇恩施”为主题的2025中国公路自行车公开赛盛大开幕，其中志愿者的服务工作是赛事顺利举办的重要保障．恩施市文旅局承办了志愿者选拔的面试工作．现从中随机抽取了200名志愿者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的频率，并根据频率分布直方图估计样本成绩的下四分位数； (2)根据频率分布直方图估计这200名志愿者面试成绩的平均值； (3)现按比例分配采用分层随机抽样的方法从这200名面试者抽取40人作为终点拉拉队队员，其中抽到的第三组和第五组的拉拉队员组成队，若抽到的第三组拉拉队面试者的成绩平均数和方差分别为70和22，抽到的第五组拉拉队面试者的成绩平均数和方差分别为90和12，请据此估计队志愿者面试成绩的方差． 18．如图，在三棱柱中，满足平面，且． (1)若，且，分别是，的中点． ①证明：平面平面； ②求平面与平面的夹角的余弦值． (2)若，求三棱锥的外接球的半径的最小值． 19．在中，角的对边分别为，且满足． (1)求； (2)已知，且为 ... ...
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