2.4.1 圆的标准方程 教学设计（表格式）

教学设计 课题 2.4.1圆的标准方程 课型 概念课 课时 1 学习目标 能根据确定圆的几何要素：圆心和半径，结合两点距离公式，利用坐标法得到圆的标准方程； 能利用圆的标准方程判断点与圆的位置关系； (3)会根据给定的条件，利用圆的有关几何性质求圆的标准方程，体会数形结合的思想. 学习重点 掌握圆的标准方程的建立与应用； 学习难点 利用圆的几何性质求圆的标准方程． 学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又学习了直线的方程的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅日数形结合的思想还比较薄弱，用代数法解决几何问题还不够熟悉.所以，在教学过程中要注重培养学生探究问题的能力，合作交流的意识. 学生在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用.在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力. 同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位.坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一. 核心知识 圆的标准方程的建立与应用 教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备 1．提出问题，形象概括 问题1：在平面中，圆的定义是什么？如何用集合语言描述？ 【预设的答案】平面上，到定点的距离等于定长的点的集合，称为圆；其中，定点称为圆心，定长称为半径．设圆心为点，半径为，则圆就是以下点的集合：． 【设计意图】开门见山，引出课题“圆”．这是完成圆的标准方程的数学抽象第一阶段，即完成对现实世界中图形的抽象，得到圆的图形，获得圆的基本概念，此时是从感性具体上升到理性思维的过程，并引导学生用符号化的集合语言表示圆． 2．探究问题，生成新知 问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 【预设的答案】设圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，则根据两点间的距离公式有，两边平方得到(1)． 显然，若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，就说明点与圆心间的距离为，点就在圆上． 如此，我们就可以通过方程(1)，在平面直角坐标系中确定一个圆． 问题3：圆的特征是什么？通过哪些要素刻画圆？ 【预设的答案】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心和半径这两个要素来刻画圆．所以，在平面直角坐标系中，确定一个圆的方程，核心就是确定它的圆心坐标以及半径大小．我们把方程(1)称为圆心为，半径为的圆的标准方程． 【设计意图】问题2和问题3是完成圆的标准方程的数学抽象第二阶段．第二阶段是基于逻辑的抽象，通过问题2和问题3，引导学生用符号化的语言表示圆的标准方程，从理性具体上升为理性一般的思维过程．这两个阶段同时也是学生完成直观想象的过程． 3．典例分析，深化理解 问题4： 例1．（1）判断下列方程是否为圆的方程： ①；②． （2）求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在这个圆上． （3）点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？ 【预设的答案】 解：（1）①是圆心为、半径为2的圆的方程； ②当时，不是圆的方程；当时，是圆心为、半径为的圆的方程． （2）圆心为，半径为5的圆的标准方程是． 把点的坐标代入方程成立，即点的坐标满足圆的方程，所以点在圆上； 把点的坐标代入方程不成立，即点的坐标不满足圆的方程，所以点不在圆上． （3）根据圆的定义，点 ... ...