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课件网) 4.1.1 实数指数幂及其运算 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.理解 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式运算； 2.掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理指数幂的运算性质. 知识点一 有理指数幂 1.根式 （1）次方根：一般地,给定大于1的正整数和实数,如果存在实数 ,使得 _____,则称为 的_____. 次方根 （2）根式：当有意义的时候,____称为根式,称为_____, 称为_____ ___. 一般地,根式具有以下性质: 根指数 被开方数 ① ___. ②当为奇数时,___;当为偶数时, ____. 2.分数指数幂 正分数指数幂 ； _____（，且 为既约分数） 负分数指数幂 _ ___ 3.分数指数幂（有理数指数幂）的运算法则 _____,____,_____. 【诊断分析】 1.我们已经知道,若,则,那么等于什么 呢 呢 解:，， . 2.我们知道,那么 成立吗 解:成立. ， ，所以 . 3.任何有意义的根式都能化为有理数指数幂的形式吗 解:能.引入分数指数幂后,任何有意义的根式都能够化为分数指数幂的形式,即 ，即任何有意义的根式都能化为有理数指数幂的形式. 知识点二 实数指数幂 无理指数幂（， 是无理数）是一个确定的_____，有理指数幂的运算 性质对于无理指数幂同样适用.因此当，为任意实数时，实数指数幂 都 有意义，对任意实数和 ，类似有理指数幂的运算法则仍然成立. 实数 探究点一 根式的概念与性质 例1（1） [2023·湖南汨罗一中高一月考]已知函数 ， 则 ( ) C A. B. C.3 D. [解析] ，所以，所以 ， 故选C. （2）计算下列各式的值： ① ____； [解析] ② ____. [解析] . （3）若有意义，则实数 的取值范围是_____. [解析] 要使有意义，则，即.故实数的取值范围是 . 变式（1） 计算下列各式的值: ① _____； [解析] . ② _____. [解析] . （2）若，则实数 的取值范围为_____. [解析] 因为, ，所以 ，所以，解得.故实数的取值范围为 . ［素养小结］ 进行根式的计算时应先考虑根指数的形态，再考虑被开方数应符合的范围，然 后进行有效的变形再化简、计算. 探究点二 根式与分数指数幂的互化 例2（1） （多选题）下列运算中正确的是( ) BCD A. B. C. D. [解析] 对于A，因为，所以，所以 ，故A错误； 对于B，因为，所以 ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D正确.故选 . （2）根式 的分数指数幂的形式为_____. [解析] . 变式（1） （多选题）下列各式中一定成立的有( ) BD A. B. C. D. [解析] ，故A不一定成立； ，故B一定成立； ,故C不一定成立； ，故D一定成立.故选 . （2）[2024·上海黄浦区光明中学高一月考] 已知， ，若 ，则 ___. [解析] 因为，，所以，所以， ， 所以 . ［素养小结］ 根式与分数指数幂互化的规律及技巧： （1）规律：根指数 分数指数幂的分母. 被开方数（式）的指数 分数指数幂的分子. （2）技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来， 然后再利用相关的运算性质进行化简. 探究点三 指数幂的运算 例3 化简求值: （1） ; 解： . （2） . 解： . 变式（1） [2023·江西抚州高一期末]有的科学计算器无法直接计算很大的数， 我们可以设计一下计算方法，以便利用科学计算器进行近似计算.利用计算器计 算得到，，则 的近似值是( ) D A. B. C. D. [解析] .故选D. （2）已知，，且，则 _ _____. [解析] 由，可得 . ［素养小结］ 实数指数幂运算的基本原则和常规方法: （1）基本原则:式子里既有分数指数幂又有根式时,一般把根式统一化为分数指 数幂的形式,再利用运算法则化简. （2）常规方法:①化负指数幂为正指数幂; ②化根式为分数指数幂; ③化小数为分数. 探究点四 条件求值 例4（1） 已知，，则___， ____. 8 72 [解 ... ...
