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课件网) 5.1.2 数据的数字特征 第2课时 众数、极差、方差与标准差 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.会求一组数据的众数、极差、方差与标准差； 2.理解数字特征的意义,并能解决与之相关的实际问题. 知识点一 众数 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数_____的数 据称为这组数据的众数. 最多 知识点二 极差、方差与标准差 1.一组数的极差指的是这组数的_____减去_____所得的差. 2.如果，， ，的平均数为，则方差可用求和符号表示为 _ _____. 3.如果，， ，的方差为，且,为常数，则,, , 的方差为_____. 4.方差的_____称为标准差. 最大值 最小值 算术平方根 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据 没有离散性，反之也成立.( ) √ （2）甲组数据的每个数据比乙组数据的每个数据都大，那么甲组数据的方差大 于乙组数据的方差.( ) × [解析] 方差可以衡量一组数据波动的大小，数据大不一定数据的波动大，即不 一定方差大. 探究点一 众数、极差、方差与标准差的计算 例1（1） （多选题）[2024·贵州毕节高一期末] 某士官参加军区射击比赛，打 了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8（单位：环），下列说法正确 的有( ) AB A.这组数据的平均数是8 B.这组数据的极差是4 C.这组数据的 分位数是9 D.这组数据的方差是2 [解析] 对于A，这组数据的平均数是 ，故A正确； 对于B，这组数据的极差是 ，故B正确； 对于C，这组数据从小到大排列为6,7,8,8,9,10，因为， 所以这组数据的 分位数是8，故C错误； 对于D，这组数据的方差是 ， 故D错误.故选 . （2）一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,,7,8（其中 ）,若该组数据 的中位数是众数的 倍,则该组数据的标准差为_ ___. [解析] 这组数据的中位数是众数的倍,,解得, 该组数据的 平均数为, 该组数据的方差为 ，则 标准差为 . 变式（1） 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子出现的点数可能为1，2，3， 4，5，6），并分别记录自己每次掷骰子出现的点数，四人根据统计结果对自己 的试验数据分别进行如下描述，可以判断一定出现6点的描述是( ) D A.甲：中位数为4，众数为4 B.乙：中位数为3，极差为4 C.丙：平均数为3，方差为2 D.丁：平均数为4， 分位数为2 [解析] 对于A，中位数为4，众数为4，则这5个数可以为4,4,4,4,4，故A不符合题意； 对于B，中位数为3，极差为4，则这5个数可以是1,1,3,4,5，故B不符合题意； 对于C，平均数为3，方差为2，设这5个数分别为,,,, ，则 ， ，若取，则 ，则 ，所以 , ,,，所以,,, 这四个数可以为 4,3,3,3或2,3,3,3，这与 矛盾，所以不存在6点，故C不符合 题意； 对于D，按从小到大的顺序设这5个数依次为,,,, ，因为 ，所以分位数为5个数中从小到大排列的第2个数，又 分位数为2，所以或, ，因为平均数为4，所以 ，则或，若,, 三个数都 不是6，则，这与或矛盾，故,, 三个数中一定会出现6，故D符合题意.故选D. （2）（多选题）已知数据，， ，的平均数为，方差为 ，中位数为 ，极差为.由这组数据得到新数据，， ， ，其中 ，则( ) ABD A.新数据的平均数是 B.新数据的方差是 C.新数据的中位数是 D.新数据的极差是 [解析] ,, ,的平均数为 ，所以 ，故A正确； , ,, 的方差为，即 ，所以 ，故B正确； ,, ,的中位数为 ，则,, ,的中位数为，故C错误； ,, , 的极差为，则,, ,的极差为，故D正确.故选 . ［素养小结］ 计算标准差的五个步骤： （1）算出样本数据的平均数 . （2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差： . （3）算出（2）中 的平方. （4）算出（3） ... ...
