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课件网) 6.1.5 向量的线性运算 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.掌握向量加法与数乘向量混合运算的运算律； 2.理解向量线性运算的定义及运算法则； 3.能利用向量的线性运算解决简单问题. 知识点一 向量的加法与数乘向量的混合运算 1.一般地，对于实数 与 ，以及向量，有 . 2.一般地，对于任意实数 ，以及向量与，有 . 知识点二 向量的线性运算 1.向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算. 2.向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算， 若有括号，要先算括号内各项. 3.为线段中点的充要条件是（ 为任意一点）. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知实数 与向量,则 也是向量.( ) √ （2）对于实数 与非零向量,向量与向量 方向相反.( ) × （3） .( ) √ 探究点一 向量的线性运算 例1 化简： （1） ； 解:原式 . （2） . 解:原式 . 变式 若，其中,, 为已知向量，则未知 向量 _____. [解析] 因为 ，所以，所以 . ［素养小结］ 向量的线性运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同 类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中也可以使用. 探究点二 向量线性运算的应用 例2 在中，为边上的中线，为的中点，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 因为D为的中点，为 的中点，所以 . 变式 （多选题）[2023·湖北武汉高一期中] 如图，在中，点 满足 ，当点在线段上移动时，记 ，则( ) BD A. B. C.的最小值为2 D.的最小值为 [解析] 由得，又点在线段 上移动，所以 ,，则, ，即 ,故A错误，B正确； ，当 时，取得最小值，故C错误，D正确.故选 . ［素养小结］ 向量的加法和全等、平行，数乘向量和相似之间关系密切，与之有关的平面几 何问题可以考虑利用向量解决. 探究点三 三点共线的判断 ［提问］ 若存在不为0的实数 ,使,则,, 三点_____. 例3 已知与为非零向量，,,，若 , , 三点共线，则 ( ) 共线 D A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 由题意知，, .因为A,B,C三点共线， 所以,共线.设，则所以 ，整 理得 ，故选D. 变式 如图所示，在中，点是点关于点的对称点，点是边 的一 个靠近点 的三等分点. （1）用向量与表示向量, ； 解： ， . （2）若，求证：，， 三点共线. 证明：，与 共线， 又与有公共点，，， 三点共线. ［素养小结］ 用向量法证明三点共线时，先证明向量共线，然后由两向量有公共点证得三点共线. 拓展 设点为内一点，且，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] ，.设D为边 的中点，则 ,,,C三点共线，且, .故选A. 1. ( ) D A. B. C. D. [解析] ， 故选D. 2.点在线段的延长线上，且，则 等于( ) D A. B. C. D. [解析] . 3.[2024·陕西安康中学高一月考]已知平面向量与不共线，向量 , ，若,,三点共线，则实数 的值为( ) C A.1 B. C.1或 D.或 [解析] 因为A，B，C三点共线，所以存在不为0的实数 使得 ，则 ,，可得所以 ， 整理得，解得或 .故选C. 4.设，为不共线的向量，，， ， 则下列关系式中正确的是( ) B A. B. C. D. [解析] 因为，， ，所以 .故选B. 5.在平行四边形中，在边上，且，为对角线 上的点， 且 ，则( ) B A.，，三点共线，且 B.，，三点共线，且 C.，，三点共线，且 D.，， 三点不共线 [解析] 四边形为平行四边形，. ， ，， ， ， ，，与 共 线，又，有公共点，，，C三点共线，且 .故选B. 1.用已知向量表示未知向量是用向量解题的基本功，解题时，应注意解题的方 向，尽量把未知向量往已知向量的方向进行转化.要善于利用三角形法则、平行 四边形法则，以及向量线性运算的运算律.当题目中含有平面几何的相关问题时， 可以利用平面几何 ... ...
