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课件网) 6.2 向量基本定理与向量的坐标 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 第1课时 平面向量的坐标表示和运算 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算. 知识点一 平面向量的坐标 1.平面上的两个非零向量与 ，如果它们所在的直线互相_____，我们就称向 量与 垂直，记作_____.规定，零向量与任意向量都垂直. 2.如果平面向量的基底{,中， ，就称这组基底为_____，在正 交基底下向量的分解称为向量的_____. 3.一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量,，对于平面内的向量 ， 如果，则称为向量 的坐标，记作_____. 4.若,其中为坐标原点,则向量的坐标_____就是终点 的坐 标;反过来,终点的_____也就是向量 的坐标. 垂直 正交基底 正交分解 坐标 知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系 1.向量相等的坐标表示 已知, ，平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对 应相等，即 _____. 且 2.向量的线性运算的坐标表示 已知, ， （1）_____, _____,即两个向量和（差） 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____. 和（差） （2）_____ ,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原 来向量的相应坐标. （3）若，是两个实数，则 _____， _____. 3.向量模的坐标运算 已知,则 _____. 知识点三 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 已知,, . （1）_____,_____, _____,即一 个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_____的坐标减去_____的坐标. （2） _____，这是平面直角坐标系内两点之 间的距离公式. （3）设线段的中点为 ，则_____，这是平面直角坐 标系内的中点坐标公式. 终点 始点 , 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( ) × （2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( ) √ （3）两个向量的差的坐标与两个向量的顺序无关. ( ) × （4）点的坐标与向量的坐标相同. ( ) × 探究点一 平面向量的正交分解与坐标表示 例1（1） 已知,分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量， 为 原点，设（其中），则点 位于( ) D A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 由已知得 .因为 ， ，所以点A 位于第四象限.故选D. （2）已知{,}是一组正交基底,且,均为单位向量，向量 的坐标为 _____；坐标为 的向量的正交分解为_____. [解析] 根据向量的坐标表示，可得向量的坐标为.坐标为 的向量为，即坐标为的向量的正交分解为 . 变式 在直角坐标系中，向量，， 的方向如图 所示，且，， ，分别计算出它们 的坐标. 解：设，则 ， ，， . 设，则 ， ， . 设，则， ， . ［素养小结］ 向量的正交分解就是把一个向量分解成两个互相垂直的向量的和.对向量进行有 效的正交分解有助于向量间的运算. 探究点二 平面上向量的运算与坐标的关系 例2（1） 已知，，则 ( ) C A. B. C. D. [解析] 因为，，所以 .故选C. （2）已知和是两个正交单位向量，，且 ， 则 ( ) B A.2或3 B.2或4 C.3或5 D.3或4 [解析] 由和是正交单位向量，得， ，则 ，所以，解得或 .故选 B. 变式（1） 已知向量，，，则可用与 表示 为( ) A A. B. C. D. [解析] 设，，，则 ，即 解得 .故选A. （2）已知，，若点满足，则点 的坐标为 _____. [解析] 设，由，得 ，所以 解得故点的坐标为 . ［素养小结］ （1）向量的坐标表示法,可以使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合起来, 这样许多几何问题就可以转化为我们熟知的向量运算的问题. （2）如果两个向量是相等向量,那么它们的坐标 ... ...
