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课件网) 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 探究点一 多面体的体积 探究点二 旋转体的体积 探究点三 球的体积 探究点四 简单组合体的体积 【学习目标】 1.了解祖暅原理的内容,掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体、球 的体积公式的过程； 2.掌握柱体、锥体、台体、球的体积公式,能运用公式解决简单 的实际问题； 3.了解组合体的概念,掌握求组合体表面积、体积的方法,并能解 决实际应用问题； 4.通过柱体、锥体、台体和球的体积的计算，培养直观想象素养 和数学运算素养． 知识点一 祖暅原理 1.祖暅原理 幂势既同,则积不容异. 含义：夹在_____的两个几何体,如果被_____ ____的任意平面所截,两个截面的面积_____,那么这两个几何体的 体积_____. 两个平行平面间 平行于这两个平面 总相等 一定相等 2.祖暅原理的应用 _____、_____的两个柱体或锥体,体积相等. 等底面积 等高 【诊断分析】 （1）柱体的体积可以转化为长方体的体积吗 解：可以.依据柱体的定义、性质和祖暅原理可知,柱体的体积可以转 化为长方体的体积. （2）祖暅原理用来解决什么问题 解：祖暅原理提供了求不规则几何体体积的一种方法. 知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积公式 说明 柱体 为柱体的_____, 为柱体的____ 锥体 为锥体的_____, 为锥体的____ 台体 , 分别为台体的_____, 为台体的____ 底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）底面积相等、高相等的一个三棱柱与一个四棱柱的体积不相等. ( ) × （2）锥体的体积是等底面积、等高的柱体的体积的三分之一.( ) √ 2.用变化的观点分析圆台与圆柱、圆锥之间的相互联系，你能发现三 者的体积公式之间的关系吗 解：圆柱和圆锥是圆台的特殊情形，当圆台的上、下底面半径接近 相等时，圆台接近于圆柱，圆台的体积公式变为圆柱的体积公式； 当圆台的上底面半径接近于零时，圆台接近于圆锥，圆台的体积公 式变为圆锥的体积公式. . 知识点三 球的体积 如果球的半径为，那么球的体积计算公式为 _____. 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） 球是曲面几何体,其体积公式不能推导出来.( ) × 2.将一个气球（看作一个球）的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来 的几倍？ 解：设气球原来的半径为，则气球原来的体积 ， 气球的半径扩大1倍后，半径变为 ，则气球扩大后的体积 ， 所以将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的8倍. 知识点四 组合体 1.概念：由简单几何体组合而成的几何体一般称为组合体.常见的组 合体大多是由柱、锥、台、球等几何体组成的. 2.求组合体的体积（或表面积）时，只需要算出其中每个几何体的体 积（或表面积），然后再处理即可. 探究点一 多面体的体积 例1（1） 若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱 长为3，则这个正四棱台的体积为_ ____. [解析] 由题知正四棱台的上底面的对角线长为 ，下底面的对角 线长为 ，侧棱长为3， 所以正四棱台的高为 ， 则该正四棱台的体积为 . （2）如图，在长方体 中， ,，求四棱锥 的体积. 解：连接，如图所示,则 ， 又 ， 所以 . 变式（1） 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为 ,体积为1 4,则该正四棱台的高为___. 2 [解析] 设该正四棱台的上底面边长为 ,则斜高、下底面边长分别为 ,,所以该正四棱台的高为 . 又因为,所以 , 故该正四棱台的高为2. （2）如图所示，已知正方体 的 棱长为，为的中点，为 上一点，则三 棱锥 的体积为_____. [解析] 由题意得， 三棱锥 的高为 ， 又 ， . ［素养小结］ 求几何体体积的常用方法： 探究点二 旋转体的体积 例2 已知一圆锥的侧 ... ...
