第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 [学习目标] 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,直线与圆的方程联立消元所得一元二次方程的判别式为Δ) 位置关系 相离 相切 相交 图形 几何法 d r d r d r 代数法 (判别式法) Δ 0 Δ 0 Δ 0 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法,用几何法比较简单. 2.圆与圆的位置关系(圆O1、圆O2的半径分别为r1,r2,d=|O1O2|) 位置 关系 图形 数量的关系 公切线 条数 外离 4 外切 3 相交 2 内切 1 内含 0 1.圆的切线方程常用结论. (1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时, 两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线. 无论两圆外切还是内切,将两圆方程(方程等号右边是0的形式)左右两边直接作差,消去x2,y2得到两圆的公切线方程. 3.两圆相交时公共弦的性质. 圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)相交. (1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程. (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦. (3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2). 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)过圆外一点的直线与圆相离.( ) (2)在圆中最长的弦是直径.( ) (3)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.( ) (4)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( ) (5)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解,则直线与圆相切.( ) 2.(人教A版选择性必修第一册P96例5改编)圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-4x+1=0的位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.外切 D.内切 3.(人教A版选择性必修第一册P93练习T1改编)直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系是( ) A.相切 B.相交或相切 C.相交 D.不能确定 4.(人教A版选择性必修第一册P93练习T3)直线2x-y+2=0被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为 . 5.(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)已知圆C的方程为x2+(y-3)2=4,则过点P(2,-1)的圆C的切线方程为 . 考点一 直线与圆的位置关系 [例1] (1)(2025·江苏南京模拟)已知圆O:x2+y2=4,直线y=kx+2与圆O恰有一个公共点,则k的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D. (2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( ) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法:利用d与r的关系. (2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交;若定点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直线问题. [针对训练] 直线y=k(x-5)-2(k∈R)与圆(x-3)2+(y+1)2=6的位置关系为( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 考点二 圆的切线、弦长问题 角度一 圆的弦长问题 [例2] 经过点P(-3,-1)且斜率为k的直线l与圆C:(x+1)2+(y-2)2=17相交于A,B两点, 若|AB|=4,则k的值为 . 直线被圆截得的弦长的两种求法 角度二 圆的切线问题 [例3] 若直线l:ax+by-3=0与圆M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则直线l的方程为 . [溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P92例2. (1)过一点求圆的切线方程的两种求法. ①代 ... ...
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