第8节 直线与圆锥曲线的位置关系 [学习目标] 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式. 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题. 1.直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程.直线与 圆锥曲线相交 Δ 0;直线与圆锥曲线相切 Δ 0;直线与圆锥曲线相离 Δ 0. (1)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点. (2)与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点. 2.弦长公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0), 则|AB|= =|x1-x2| = 或|AB|=|y1-y2| =. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)过点(1,)的直线一定与椭圆+y2=1相交.( ) (2)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C有且只有一个公共点”.( ) (3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C有且只有一个公共点”.( ) (4)“直线l与抛物线C相切”的充要条件是“直线l与抛物线C有且只有一个公共点”.( ) 2.(人教A版选择性必修第一册P128习题3.2 T13改编)过点P(2,1)的直线l与双曲线x2-=1相交于A,B两点,若P是线段AB的中点,则直线l的方程是( ) A.6x-y-11=0 B.6x+y-13=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-4=0 3.(人教A版选择性必修第一册P114例7节选)已知直线l:4x-5y+m=0和椭圆C:+=1有两个公共点,则m的取值范围是 . 4.(人教B版选择性必修第一册P173习题2-8B T5)已知斜率为2的直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,如果线段AB的长等于5,那么直线l的方程为 . 考点一 直线与圆锥曲线位置关系的判断 [例1] (1)(2025·湖南衡阳模拟)已知直线kx+y+2k=0与椭圆 +=1相切,则k的值为( ) A.2 B. C.±2 D.± (2)(2025·四川成都模拟)过点(0,-1)且与双曲线-=1有且仅有一个公共点的直线有( ) A.0条 B.2条 C.3条 D.4条 判断直线与圆锥曲线位置关系的方法 在判断直线与圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程.如果是直线与圆或椭圆,那么所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,那么需先讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,另外还应注意斜率不存在的情形. [针对训练] (1)(2025·广东佛山模拟)已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ) A.[-1,1] B.[-1,0)∪(0,1] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) (2)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是 . 考点二 中点弦问题 [例2] 已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为 . [溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P128习题3.2 T13. 处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2, y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式可求得斜率. (2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. (3)中点弦的常用结论. 已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线E上的两点,AB的中点为C(x0,y0),直线AB的斜率为k, 且k≠0. 若E的方程为+=1(a>b>0),则k=-·;若E的方程为-=1(a>0,b>0),则k=·; 若E的方程为y2=2px(p>0),则k=. [针对训练] 已知直线l:4x-2y-7=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A,B(不重合)两点,AB的垂直平分线过点(3,0),则双曲线C的离心率为( ) A. B. C. D. 考点三 弦长问题 [例3] 如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点. (1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程; (2)若线段|AB|=20,求直线l的方程 ... ...
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