3.2.2 双曲线的简单几何性质（第3课时）同步练习（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线及其简单几何性质第3课时--直线与双曲线位置关系 同步练习、解答、细目表 一、单选题 1．已知双曲线，过点作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（ ） A．3条 B．4条 C．1条 D．2条 2．已知双曲线，则下列说法不正确的是（ ） A．双曲线的焦点坐标为， B．双曲线与有相同的渐近线 C．双曲线的焦点到一条渐近线的距离为3 D．直线与双曲线有两个交点 3．若直线过点(1，0)与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 4．已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B两点，则l斜率的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题 5．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支相交于M，N两点，则（ ） A．直线l：与C恰有两个公共点 B．若，则的面积为 C．双曲线E：的焦点在以为直径的圆上 D．若，则的周长为28 6．已知是双曲线的一个焦点，则下列选项正确的有（ ） A．双曲线的离心率为 B．到双曲线的一条渐近线的距离为1 C．双曲线与双曲线有相同的渐近线 D．过点的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有两条 7．已知双曲线：，则（ ） A．双曲线的焦距为 B．双曲线的两条渐近线方程为： C．双曲线的离心率为 D．双曲线有且仅有两条过点的切线 三、填空题 8．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 9．过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 10．已知直线和双曲线的右支交于不同两点，则的取值范围是 四、解答题 11．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过点的直线与双曲线交于两点，是否存在直线使得 (为原点)，若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由. 3.2.2双曲线及其简单几何性质第3课时--直线与双曲线位置关系同步练习、解答、细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D B B BC BD BD 1．D 【分析】当直线斜率不存在时，可得直线满足题意；当直线斜率存在时，设为，与双曲线方程联立；当所得方程二次项系数为零时，可求得满足题意的；当二次项系数不为零时，利用判别式等于零可求得；综合上述情况可得结果. 【详解】由双曲线方程可知其顶点坐标为 ①当直线斜率不存在时，直线方程为：，满足与曲线只有一个公共点； ②当直线斜率存在时，设直线方程为：，即：， 联立，整理可得： 当，解得， 当时，此时方程没有实数根， 当时，此时方程有且仅有一个实数根， 直线与曲线有且仅有一个公共点 当时，，解得：， 又因为，此时方程无解.综上所述：满足条件的直线有条，故选：D 2．D 【分析】对A直接根据双曲线方程即可求出焦点坐标；对B，根据渐近线公式即可判断；对C，根据点到直线距离公式即可判断；对D，根据渐近线与直线关系即可判断. 【详解】依题意，双曲线方程为，所以， A选项，双曲线焦点为，A正确. B选项，双曲线C与的渐近线方程均为，则它们有相同的渐近线，B正确. C选项，双曲线的一条渐近线为， 焦点到渐近线的距离为，C正确. D选项，由于双曲线的渐近线为，直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点，D错误.故选：D 3．B 【解析】点是双曲线的右顶点，结合双曲线的性质与图形可得过点与双曲线只有一个公共点的直线有3条． 【详解】由题意可得：双曲线的渐近线方程为：， 点是双曲线的顶点，故直线与双曲线只有一个公共点； 过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，有2条 所以，过的直线与双曲线只有一个公共点，共有3条，故选：． 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题． 4．B 【分析】根据双曲线渐近线的斜率，求得直线斜率的取值范围. 【详解】双曲线的渐近线为，当直线与渐近线 ... ...