平面向量基本定理及坐标表示 【基础回顾】 知识点1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 知识点3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝． 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0． 【必备知识】 1.中点坐标公式：已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. 2.重心坐标公式：已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 题型一 平面向量基本定理的应用 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：确定一个基底，把其他向量用基底表示，再通过向量系数的运算来解决． 提示： (1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． 【例题精讲】 1．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ） A． B． C． D． 2．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象并以正八边形ABCDEFGH的中心O为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则x+y＝（ ） A． B． C．2 D． 3．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，且BD＝2AD，点E是CD的中点，设，，则可以表示为（ ） A． B． C． D． （多选）4．如图，在△ABC中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，λ，μ∈（0，+∞），过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（m＞0，n＞0），则（ ） A． B． C． D．m+2n的最小值为2． （多选）5．如图，直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），且与边AB，AC交于点P，Q且，直线l将△ABC分成两部分分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为S△APQ和S四边形PQCB，则以下结论正确的是（ ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 题型二 平面向量的坐标运算 1．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 2．向量坐标运算的注意事项 (1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算． 【例题精讲】 1．在△ABC中，已知，，则△ABC的面积为（ ） A． B．4 C． D． 2．若向量，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，若，则λ＝（ ） A． B． C． D． （多选）4．已知向量（1，2），（1，﹣1），则（ ） A．|| B．2（3，0） C．cos ， D．在上的投影向量的坐标为 （多选）5．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2），B（m+1，n），C（n，2m），则下列结论 ... ...
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