(
课件网) 第四章 数列 4.1 数列的概念 第2课时 数列的递推公式与an和Sn的关系 学习 目标 1. 理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题． 2. 会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式． 3. 会用递推公式求数列的特定项及通项． 新知初探 基础落实 一、 概念表述 1. 已知一个数列的首项(或前几项)，如果这个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 2. 递推公式与通项公式的区别与联系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项_____(或前几项)之间的关系 表示an与_____之间的关系 联系 (1) 都是表示数列的一种方法； (2) 由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 an－1 序号n 3. 定义：数列{an}从第____项起到第____项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_____． 4. 公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的_____之间的对应关系可以用一个式子 来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式，于是有an＝_____． 1 n a1＋a2＋…＋an 序号n 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为an＝－4n＋2(n∈Z*) . ( ) (2) 如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是这个数列的项． ( ) × √ × 典例精讲 能力初成 1 由递推公式写出数列的项 【解答】 探究 1 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． 2 由递推公式求通项公式 【解答】 探究 2 结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可． 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝_____． 3 利用an与Sn的关系求通项公式 【解析】 探究 3 用an与Sn的关系求an的步骤 (1) 先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式； (2) 再利用Sn求出a1(a1＝S1)； (3) 验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式； (4) 写出数列的通项公式． 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2，则数列{an}的通项公式为an＝_____． 【解析】 变式 随堂内化 及时评价 【解析】 由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N*，n≥2. 1. 数列1，3，6，10，15，…的递推公式是 ( ) A. an＋1＝an＋n，n∈N* B. an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C. an＋1＝an＋n＋1，n∈N*，n≥2 D. an＝an－1＋n－1，n∈N*，n≥2 B 【解析】 由an＋1－an＝3＞0，知数列{an}为递增数列． 2. 已知数列{an}满足an＋1－an－3＝0，则数列{an}是 ( ) A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 不能确定增减性 A 【解析】 因为a1＝1是自然数，所以a2＝a1－2＝1－2＝－1.因为a2＝－1不是自然数，所以a3＝a2＋3＝－1＋3＝2.因为a3＝2是自然数，所以a4＝a3－2＝2－2＝0.因为a4＝0是自然数，所以a5＝a4－2＝0－2＝－2.因为a5＝－2不是自然数，所以a6＝a5＋3＝－2＋3＝1. 3. 已知数列a1，a2，a3，…，an，…(n∈N*)满足下列条件：若an为自然数，则an＋1＝an－2，否则an＋1＝an＋3.若a1＝1，则a6的值为 ( ) A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 C 【解析】 【解答】 因为Sn＝－2n2＋10n, 所以n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋10(n－1)，所以an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋10n＋2(n－1)2－10(n－1)＝－4n＋12(n≥2).当n＝1时，a1＝－2＋10＝8＝－4×1＋12，此时满足an＝－4n＋12，所以an＝12－4n. 5. 若数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋10n，求数列 ... ...
