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课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 第1课时 函数的单调性 学习 目标 1. 理解函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负关系． 2. 能利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间． 新知初探 基础落实 一、 概念表述 在某个区间(a，b)上，若f′(x)＞0，则y＝f(x)在(a，b)上单调 _____；在某个区间(a，b)上，若f′(x) ＜0，则y＝f(x)在(a，b)上单调_____． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 一个函数的导函数的图象上升，则原函数在对应区间上递增． ( ) (2) 一个函数的导函数的图象在x轴下方对应的区间，就是原函数的减区间． ( ) (3) 求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0或f′(x) ＜0的过程． ( ) (4) 求函数的单调区间，还要结合函数的定义域. ( ) 递增 递减 × √ √ √ 典例精讲 能力初成 (教材P86例1补充)求证：函数f(x)＝－2ln x＋x2在(1，＋∞)上是增函数． 1 利用导数证明函数单调性 【解答】 探究 1 利用导数判断或证明函数单调性的思路： 求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． 【解答】 因为f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1＞0，故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．当x∈(－∞，0)时，ex＜1，即f′(x)＝ex－1＜0，故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数． 变式 (1) (教材P86例2补充)若f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能是 ( ) 2 识图问题 【解析】 由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递减，在(－2，0)上单调递增，可排除B，C，D, 故选A. A 探究 2 (2) 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 ( ) 【解析】 由导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，排除选项A，B；当x>0时，f′(x)先正后负，所以f(x)在(0，＋∞)上先增后减，因为选项C中的图象是先减后增再减，故排除选项C. D 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，一般要从以下两点入手： (1) 函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． (2) 函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值就越大，不是f′(x)的值越大． (教材P87例3补充)求下列函数的单调区间： (1) f(x)＝x2－ln x； 3 利用导数求单调区间 【解答】 探究 3 【解答】 (教材P87例3补充)求下列函数的单调区间： 3 (1) 求函数单调区间，首先确定函数的定义域，再令f′(x)>0解得增区间，令f′(x)<0解得减区间． (2) 若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接． 【解答】 函数的定义域为R，y′＝2x2－4x＝2x(x－2).令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞).令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，所以函数的单调递减区间为(0，2). 变式 (2) y＝ln (2x＋3)＋x2. 【解答】 变式 随堂内化 及时评价 【解析】 C 【解析】 设f′(x)＝0的两个根分别为a，b，0
0，函数f(x)为增函数，当x>b时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，因为0