2.2基本不等式 同步练习（含解析）

基本不等式核心知识点 核心公式：对任意正数，有，当且仅当时等号成立（算术平均数≥几何平均数）。 常用变形： 积定求和最小：若（定值，），则； 和定求积最大：若（定值，），则； 适用条件：一正（变量均为正）、二定（和或积为定值）、三相等（验证等号成立条件）。 二、题型归类与典型例题 题型 1：直接配凑（基础） 例题：已知，求的最小值。 解答： 因，故，（满足一正）；（积为定值，满足二定）； 由基本不等式：； 当且仅当，即时取等号，故最小值为。 题型 2：多变量常数代换（进阶） 例题：已知，，且，求的最小值。 解答： 由，得；； 因，，故，，由基本不等式：； 故，当且仅当且（即，）时取等号，最小值为。 题型 3：复杂分式换元（提升） 例题：已知，求的最小值。 解答： 令（，因），则； 代入分子：； 故； 因，由基本不等式：； 当且仅当，即（）时取等号，最小值为。 三、习题 ） 已知，求的最小值。 2已知，求的最小值。 3.已知，，且，求的最大值。 4.已知，，且，求的最小值。 5.已知，求的最大值。 6.已知，求的最大值。 7.已知，求的最大值。 8.已知，，且，求的最小值。基本不等式核心知识点 核心公式：对任意正数，有，当且仅当时等号成立（算术平均数≥几何平均数）。 常用变形： 积定求和最小：若（定值，），则； 和定求积最大：若（定值，），则； 适用条件：一正（变量均为正）、二定（和或积为定值）、三相等（验证等号成立条件）。 二、题型归类与典型例题 题型 1：直接配凑（基础） 例题：已知，求的最小值。 解答： 因，故，（满足一正）；（积为定值，满足二定）； 由基本不等式：； 当且仅当，即时取等号，故最小值为。 题型 2：多变量常数代换（进阶） 例题：已知，，且，求的最小值。 解答： 由，得；； 因，，故，，由基本不等式：； 故，当且仅当且（即，）时取等号，最小值为。 题型 3：复杂分式换元（提升） 例题：已知，求的最小值。 解答： 令（，因），则； 代入分子：； 故； 因，由基本不等式：； 当且仅当，即（）时取等号，最小值为。 三、习题 ） 已知，求的最小值。 2已知，求的最小值。 3.已知，，且，求的最大值。 4.已知，，且，求的最小值。 5.已知，求的最大值。 6.已知，求的最大值。 7.已知，求的最大值。 8.已知，，且，求的最小值。 答案 1.因，，；（积定）；，当且仅当（）时取等，最小值为。 答案： 2.拆，则；，当且仅当（）时取等，最小值为。 答案： 3.变形，，，（和定）； 由和定求积：，故，当且仅当（，）时取等，最大值为。 答案： 4.；，故，当且仅当且（，）时取等，最小值为。 答案：9 。 令（），则；；，故，当且仅当（，）时取等，最大值为。 答案： 6.变形，，，（和定）；，故，当且仅当（）时取等，最大值为。 答案： 7.分子分母同除以（）：；，故，则，当且仅当（）时取等，最大值为。 答案： 8.变形：，即；，，由基本不等式：； 故，即，当且仅当（）时取等，最小值为。 答案： ... ...