(
课件网) 12.2 复数的运算 第2课时 复数的乘方与除法运算 探究点一 复数的乘方与的 周期性 探究点二 复数的除法运算 探究点三 复数集内解方程 【学习目标】 掌握复数代数表示式的乘方与除法运算,并能熟练地进行计算. 知识点一 复数的正整数指数幂运算律 （1） . （2） . （3） （其中,，, ）. 【诊断分析】 （1）__,____,____,___, . 1 [解析] ,,, . （2） _____. 2或或0 [解析] 当,时，; 当, 时，; 当,时， . 知识点二 复数的除法法则 复数的除法法则 _____,,, ，且 . 两个复数的商仍是一个_____. 复数 【诊断分析】 （1）若复数满足（是虚数单位），则 的共轭复 数 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，，， ，所以 ，则 ， .故选C. √ （2）复数的除法与实数的除法有何不同 解：实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为 复数,一般不能直接约分化简.由于两个共轭复数的积是一个实数,因此, 两个复数相除时,可以先把式子写成分式的形式,然后把分子、分母同 乘分母的共轭复数（注意是分母的共轭复数）,再把结果化简即可. 知识点三 复数的平方根 1.实数的平方根 设,当时,的平方根为实数0;当时, 的平方根是两个实数 ;当时,的平方根是两个纯虚数 ,这是由于 . 2.虚数的平方根 设,且,若是 的平方 根,则有,即 ,所以有 解方程组求出, 的值即可. 探究点一 复数的乘方与 的周期性 例1（1） 计算：，,, . 解：,,, . （2）若复数，求 . 解：因为，，，，所以 , 所以， 则 ， 所以 . （3）设，求，及 的值. 解：由 ，可得 ， ， . 变式 计算： （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） . 解： . ［素养小结］ 乘方计算时常用结论： （1），，， ； （2） ； （3）设，则， ； （4） ； （5） ； （6） . 探究点二 复数的除法运算 例2 计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 变式 计算： （1） ; 解： . （2） . 解： . ［素养小结］ （1）复数的除法是先将式子写成分式形式,再将分子、分母同时乘分 母的共轭复数,然后按复数的乘法法则进行运算,最后化简. （2）记住以下结论可以提高运算速度. ,;, ; . 探究点三 复数集内解方程 例3（1） 在复数范围内解方程 . 解：由 ， 可得，则 ， 所以方程的解为或 . （2）已知是方程的一个根（, 为实数）. ①求, 的值; 解：由题知,即 , 所以解得 ②试判断 是否为该方程的根. 解：由①知,原方程为 , 因为,所以 是该方程的根. 变式（1） 在复数范围内解方程 . 解：由,得 , 故,解得, . （2）已知是关于的方程的一个根,其中 , ,求 . 解：方法一:由题意得 , 化简得, 所以解得 所以 . 方法二:因为是关于的方程 的一个根,所以 也是方程 的根, 所以由根与系数的关系得,, 解得, ,所以 . ［素养小结］ 解实系数方程，通常利用配方法、公式法进行求解. 1.复数代数形式的除法运算的实质是分母“实数化”,即分子以及分母 同乘分母的“实数化”因式.类似于以前所学的把分母“有理化”. 2.有关虚数单位 的运算 虚数的乘方及其规律:,,,,, , ,, .可见,, , ,即 的乘方具有周期性且最小正周期为4. 3.复数常见的运算小结论 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ； （5） . 4.在复数范围内,实系数一元二次方程 的求根 公式为 （1）当时,; （2）当时, . 1.复数与函数 例1 [2024·江苏南通启东中学月考] 已知 ，则集合， 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ [解析] , ，，， 集合， 中元素的个数为2.故选B. 2.复数与方程 例2 已知复数，其中是正实数， 是虚数单位. （1）如果为纯虚数，求实数 的值； 解：因为 为纯虚数， 所以解得 （负值舍去）. （2）如果，是关于的方程 的一个根，求 的值. 解： ， 则 ， 故也是关于的方程 的一个根， 故解得 故 .第2课 ... ...
