3.3垂径定理 【题型1】垂径定理与勾股定理综合求边长 4 【题型2】垂径定理与坐标系综合 6 【题型3】垂径定理的应用 9 【知识点1】垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1.（2024秋 丰台区期末）如图，OA是⊙O的半径，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若OA=5，AB=8，则OC的长为（ ） A．2B．3C．4D．5 【答案】B 【分析】根据垂径定理即可求得AC的长，在直角△AOC中．利用勾股定理即可求得OC的长． 【解答】解：∵OC⊥AB，AB=8， ∴AC=AB=4， 在直角△AOC中，OA=5， ∴OC===3． 故选：B． 2.（2025 宣州区校级开学）已知圆的半径为5，圆中弦长为6，则圆心到弦的距离是（ ） A．5B．4C．6D．8 【答案】B 【分析】过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长． 【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D， ∵OD⊥AB，AB=6， ∴， ∵OB=5， ∴． 故选：B． 【知识点2】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 1.（2024秋 蓬江区期末）如图，筒车是我国古代发明的一种水力灌溉工具．圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦MN长为6m,半径为4m,则圆心O到弦MN所在直线的距离为（ ） A．4mB．5mC．mD．m 【答案】D 【分析】过点O作OC⊥MN于点C，根据垂径定理求出MC=MN=3m,再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过点O作OC⊥MN于点C， ∴MC=MN=3m, 在Rt△OCM中，OM=4m, ∴OC===（m）， 即圆心O到弦MN所在直线的距离为m, 故选：D． 【题型1】垂径定理与勾股定理综合求边长 【典型例题】如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED=1，AB=10，则CD的值是（ ） A.13 B.20 C.26 D.28 【答案】C 【解析】如图，连接OA， 设圆的半径为x,则OE=x-1， 由垂径定理可得AB⊥CD，AE=BE=AB=5， Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2， x2=25+（x-1）2， 解得：x=13， ∴CD=26， 故选：C． 【举一反三1】如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，点M在弦AB上，且AM＝2，则线段OM的长是（ ） A. B.4 C. D.5 【答案】C 【解析】过O点ON⊥AB于N点，连接AO，如图， ∵ON⊥AB，AB＝6，∴AN=NB=， ∵⊙O的半径为5，即AO＝5， 在Rt△AON中，ON=， ∵AM＝2，AN＝3，∴NM＝AN﹣AM＝1， 在Rt△MON中，OM=． 【举一反三2】如图，在⊙O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC，交⊙O于点D，则CD长的最大值为 ． 【答案】2 【解析】∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD＝， 当OC的值最小时，CD的值最大，OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CB＝AB＝2， 即CD的最大值为2， 故答案为：2． 【举一反三3】如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，若OC＝2 cm，OE＝ cm，求弦AB的长． 【答案】解：连接OB，如图所示： ∵半径OC过弦AB的中点E，OC＝2 cm， ∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2， ∴BE＝＝＝（cm）， ∴AB＝2BE＝2（cm）． 【题型2】垂径定理与坐标系综合 【典型例题】如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ） A.（﹣5，﹣6） B.（﹣4，﹣5） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6） 【答案】D 【解析】过A作AB⊥NM于B，连接AM ... ...
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