圆锥曲线：离心率问题、弦长问题、面积问题专项训练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线：离心率问题、弦长问题、面积问题专项训练 考点目录 离心率问题 弦长问题 面积问题 ( 考点一 离心率问题 ) 1．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍，则，即， 故椭圆的离心率为. 故选：C. 2．（24-25高二下·河南周口·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，的右支上一点满足，且与的夹角的正切值为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示： 设、的夹角为，则，解得， 因为，由双曲线的定义可得，故， 由余弦定理可得， 即，可得，故. 故选：D. 3．（2025·江苏宿迁·三模）设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：， 即，联立， 解得，即由对称性可得，，且， 则，可得，故离心率. 故选：B 4．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得， 设，则，即点， 因此，整理得，由，得，则， 于是，解得，即，则的离心率， 所以的离心率的取值范围为. 故选：A 5．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C的右支交于A，B两点（点A在第一象限），若，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，直线过点，且直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，， 则，又，，解得， 可知，， 设，则， 则，， 在中，，则， 在中，， 又， 所以， 则， 即，即， 因为，所以得， 在中，， 又，所以，即，解得或（舍）. 故选：B． 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又， 如图， 设，四边形为等腰梯形， ，即，； 由椭圆定义知，，， 解得. 故选：B. 7．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆：， 双曲线：，可得，所以， 解得，所以， ，， ，， 因为四边形为矩形，所以在中，， ，即， ，，即的离心率是. 故选：C. 8．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）已知双曲线，若，则的离心率为（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【详解】由题意知的焦距为，所以的离心率为.故选C. 9．（2025·广西南宁·三模·多选）已知直线与椭圆交于A、B两点，、分别为椭圆的左、右焦点，M、N分别为椭圆的左、右顶点，关于直线l的对称点Q在椭圆上，则（ ） A． B．若椭圆的离心率为，则直线MA，MB的斜率之积为 C．若直线BQ平行于x轴，则 D．若，则椭圆的离心率为 【答案】AC 【详解】如图，直线l与交于G， 对于A，由题意可知是中位线，故，故A正确； 对于B，设，则，且即，且， 所以，故B错误； 对于C，设点，则直线， 因为直线平行于x轴，所以点的中点， 所以由点G在直线l上且得， 解得，即，因此，故C正确. 对于D，若，设关于直线的对称点，则，解得，. 因为在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程，即， 又，化简可得. 等式两边同时除以，设，则，解得或（舍去），所以，故D错误. 故选：AC. 10．（25-26高二上·河北保定·阶段练习·多选）已知椭圆的两个顶点 ... ...