合情推理与演绎推理 一、归纳推理 例1．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？ 变式1.设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=_____；当时， ．（用表示） 变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分? (2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分? 强化训练 1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 . 2.由＞,＞,＞,…若a＞b＞0,m＞0，则与之间的大小关系为 . 3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）. ①A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆 ②由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 ③由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆=1的面积S=ab ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 . 二、类比推理 （一）数列中的类比 例1.在等差数列中，若，则有等式 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立. 强化练习 1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列｛a｝等和数列，且，公和为5。那么的值为_____，这个数列前n项和的计算公式为_____。 2.若数列是等差数列，则有数列 类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有数列 （二）几何中的类比 例1.如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则=·；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？ 例2 . 已知O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A′,B′,C′,则++=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”. ++=++==1， 请运用类比思想，对于空间中的四面体V—BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明. 强化练习 1.在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 .” 2.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中（如图所示），而DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是 . 3.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 . (三)解析几何中的类比 例1.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明. 强化训练 1.已知两个圆：， ①与 ② 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推 ... ...
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