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课件网) （人教版）数学（2024） 八年级 上 16.3 乘法公式 第十六章 整式的乘法 16.3.1 平方差公式 1.经历探索平方差公式的过程，学会推导平方差公式. 2.能运用公式进行简单的运算. 3.在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简洁美. 重点：平方差公式的推导和应用. 难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式. 1.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的_____. 2.(a+b)(a-b)=_____. 3.平方差公式特点：左边是两个二项式的_____，其中一项_____，另一项_____；右边是这两项的_____ (即_____的平方减去_____的平方). 平方差 a -b 积 相同 互为相反数 平方差 相同项 相反项 同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下的两个多项式相乘如何计算，下面请同学们应用所学的知识，探究下面的问题： 【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律 (1)(x+1)(x-1)=_____；(2)(m+2)(m-2)=_____； (3)(2x+1)(2x-1)=_____. 上面几个算式中每个因式都是两项，它们都是两个单项式的和与差的积. x +x-x-1=x -1 m +2m-2m-2 =m -2 (2x) +2x-2x-1=(2x) -1 【引导】下面我们再来计算：(a+b)(a-b). (a+b)(a-b)=a -b . 其中a，b表示任意数，也可以表示任意单项式、多项式. 利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明： (a+b)(a-b)=a -ab+ab-b =a -b . 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a+b)(a-b)=a -b . 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 说明：这个公式叫作(乘法的)平方差公式. 平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=-b的特殊情形. 【思考】你能根据教材图16.3-1中图形的面积说明平方差公式吗 可以发现：a -b =(a+b)(a-b)，这说明平方差公式有直观的几何意义. 【例1】运用平方差公式计算： (1)(3x+2)(3x-2)； (2)(-x+2y)(-x-2y). 【分析】运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座.在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即： 用同样的方法可以完成(2)，如果形式上不符合公式特征，可以作一些简单的转化，使它符合平方差公式的特征，比如(2)应先作如下转化：(-x+2y)(-x-2y)=[(-x)+2y][(-x)-2y].如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑用多项式的乘法法则来求解. 【解】(1)(3x+2)(3x-2)=(3x) -2 =9x -4； (2)(x+2y)(-x-2y)=(-x) -(2y) =x -4y . 【例2】计算： (1)(x-1)(x+1)(x +1)； (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； (3)102×98. 【解】(1)(x-1)(x+1)(x +1)=(x -1)(x +1)=x4-1； (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y -2 -(y +4y-5)=y -4-y -4y+5=-4y+1； (3)102×98=(100+2)(100-2)=100 -2 =10000-4=9996. 小结：(1)公式中的字母a，b可以表示数，也可以表示单项式、多项式，即整式. (2)只有符合公式的结构特征时才能运用平方差公式简化运算，如转化后仍不符合公式特征，则仍要按多项式的乘法法则进行计算. (3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用平方差公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律进行适当变形后也能应用平方差公式来求解. 【练习】小红家有一块L型的菜地，现要把L型的菜地按如图所示分成两个面积相等的梯形，种上两种不同的蔬菜.这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是(b-a)米.请你帮小红算一算，她家菜地的面积有多大 当a=10，b=30时，面积是多少 【解】 (b+a)(b-a)×2=b -a (平方米). 把a=10，b=30代入式中，得： 30 -10 =900-100=800(平方米). 通过本节课的学习，我们掌握了哪些知识 谈谈你的收获. 本节课主要学方差公式：(a+b)(a-b)=a -b .即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫作平方差公式. 16.3 乘法公式 ... ...
